设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/18 05:44:51

设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．
设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．

设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．
根据已知作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使PE=AD=BC,利用AD∥EP,AD∥BC,进而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,
得出AEBP共圆,即可得出答案．
证明：作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使PE=AD=BC,
∵AD∥EP,AD∥BC．
∴四边形AEPD是平行四边形,四边形PEBC是平行四边形,
∴AE∥DP,BE∥PC,
∴∠ABP=∠ADP=∠AEP,
可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）．
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,
∴∠PAB=∠PCB．

全部展开

过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE
因为DP//AE，AD//PE
所以，四边形AEPD为平行四边形
所以，∠PDA=∠AEP
已知，∠PDA=∠PBA
所以，∠PBA=∠AEP
所以，A、E、B、P四点共圆
所以，∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD
而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC
所以，PE//BC，且PE=BC
即，四边形EBCP也是平行四边形
所以，∠PEB=∠PCB
所以，∠PAB=∠PCB

收起

设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB．

设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．