已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 20:55:43

已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n
已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n

已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n
用数学归纳法证明
n=2时
（1+a1）（1+a2）=1+a1a2+a1+a2=2+a1+a2>=2+2√a1a2=4
命题成立
假设n=k时命题成立
n=k+1时 由于a1a2a3…a（k+1）=1
所以必存在ai,aj ai>=1>=aj
不妨设a1>=1>=a2
将a1*a2看成1个数 就成了n=k的情况
(1+a1a2)(1+a3).(1+a(k+1))>=2^(k)
只需要证明(1+a1)(1+a2)>=2(1+a1a2)就可以了
化简 a1+a2-1-a1a2=(a1-1)(1-a2)>0
故(1+a1)（1+a2）(1+a3).(1+a(k+1))>=2^(k+1)
证毕

具体不好写，讲个思路吧！
只要你明白2ab小于等于a的平方+b的平方这个道理就好了
在这里a假设1和a2相乘为1，那么当a1=a2时，（1+a1）（1+a2）=2*2
如果a1不等于a2，那么（1+a1）（1+a2）=1+a1+a2+a1a2=2+a1+a2
其中a1+a2>2*（根号下a1a2）
所以得证

用数学归纳法证明
当n=1时
左边=1+a1 右边=2^1=2
1+a1≥2
所以命题成立
所以假设n=k时命题成立
当n=k+1时
由于a1a2a3…a（k+1）=1
所以必存在ai,aj ai>=1>=aj
不妨设a1>=1>=a2
将a1*a2看成1个数 就...

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用数学归纳法证明
当n=1时
左边=1+a1 右边=2^1=2
1+a1≥2
所以命题成立
所以假设n=k时命题成立
当n=k+1时
由于a1a2a3…a（k+1）=1
所以必存在ai,aj ai>=1>=aj
不妨设a1>=1>=a2
将a1*a2看成1个数 就成了n=k的情况
(1+a1a2)(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k)
只需要证明(1+a1)(1+a2)>=2(1+a1a2)就可以了
化简 a1+a2-1-a1a2=(a1-1)(1-a2)>0
故(1+a1)（1+a2）(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k+1)
所以命题成立
所以 1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n
证毕

收起

已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n a1+a2+a3...aN 已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=18,a2+a3+a4=-9,且Sn=a1+a2+……+an则limsn= n趋于无穷 已知集合A={a1,a2,a3.an},其中ai∈R（1 已知｛an}是等比数列,且a2>a3=1,(a1-1/a1)+(a2-1/a2)+…+(an-1/an)>0,则自然数n的值 已知a1+a2+…….+an=1求证：a1^2/(a1+a2) + a2^2/(a2+a3)…….+an-1^2/(an-1+an) +an^2/(an+a1)>1/2已知a1+a2+…….+an=1求证：a1^2/(a1+a2) + a2^2/(a2+a3)……+an-1^2/(an-1+an) +an^2/(an+a1)>1/2 已知数列{an}是无穷等比数列,且a1+a2+a3+a4+……+an+……=1/a1,求实数a1的取值范 设A1,A2,A3…,An是常数（n是大于1的整数,且A1 已知等比数列{An},a1=3,且4a1 2a2 a3成等差数列,则a3+a4+a5等于? 已知等比数列{An},a1=3,且4a1 2a2 a3成等差数列,则a3+a4+a5等于? 已知a1,a2,a3...an为任意的正实数,求证1/a1+2/(a1+a2)+.n/(a1+a2+...an) 已知a1,a2,a3...an为任意的正实数,求证1/a1+2/(a1+a2)+.n/(a1+a2+...an) 已知函数f（x）=2-|x|,无穷数列{an}满足an+1=f（an）,n∈N*（1）若a1=0,求a2,a3,a4；（2）若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值（3）是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1, 已知a1+a2+a3+……+an=3^n-2^n/2^n 求a1,a2,a3的值 已知数列｛an｝是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.②令bn=an*x的n次方（x∈R）.求数列｛bn｝的前n项和公式 已知等比数列{an}的公比q=1/3 且a1+a3+a5+……+a99=60 则a1+a2+a3+a4+……+a100等于 在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+…+a99+a100=? 在等差数列｛an｝中,已知公差为二分之一,且a1+a3+a5+…+a99=60,那么a1+a2+a3+…a100等于?