高等数学上的最大值和最小值问题!在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(椭圆的公式)的第一象限部分上求一点p,使该点处的切线,椭圆及坐标轴所围图形的面积为最小.解设0大于x0 大于a (这上面用都都是符号,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 08:33:04

高等数学上的最大值和最小值问题!在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(椭圆的公式)的第一象限部分上求一点p,使该点处的切线,椭圆及坐标轴所围图形的面积为最小.解设0大于x0 大于a (这上面用都都是符号,
高等数学上的最大值和最小值问题!
在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(椭圆的公式)的第一象限部分上求一点p,使该点处的切线,椭圆及坐标轴所围图形的面积为最小.
解设0大于x0 大于a (这上面用都都是符号,打不出来用字代替了),0大于y0大于b,过椭圆上点（x0,y0）处的切线的斜率,y’(x0)满足x0/a^2+（y0y’(x0)/b^2）=0,即y’(x0)=-(b^2/a^2)(x0/y0)
切线方程为 y-y0= -(b^2/a^2 )(x0/y0)
分别令y=0与x=0 ,得切线在x,y轴上的截距：x=a^2/x0 ,y=b^2/y0
于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积为：
S(x0)=(1/2 )(a^2/x0)( b^2/y0)-((1/4)πab)
s(x)= (1/2 )(a^2/x0)( b^2/y0)-((1/4)πab)(0小于x小于a)的最小值点,其中y=b根号1-(x^2/a^2).问题转化为求f(x)=x^2(a^2-x^2)(0小于等于x小于等于a)的最大值点.
因f’(x)=(2a^2)x-4x^3,由f’(x)=0(x∈(0,a)),得a^2-2x^2=0,从驻点为x0=(根号2/2)a,（这个是怎么算出来的）注意f(0)=f(a)=0,x0=(根号2/2)a是f(x)在[0,a ]最大值点,因此p=((根号2/2)a,(根号2/2)b)为所求的点.
详细的讲清楚每一步,

高等数学上的最大值和最小值问题!在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(椭圆的公式)的第一象限部分上求一点p,使该点处的切线,椭圆及坐标轴所围图形的面积为最小.解设0大于x0 大于a (这上面用都都是符号,
求该题极值的基本思路是先得出切线和椭圆以及坐标轴围成面积的函数表达式,然后对其求导,导数的零点就是所求点.
该题重点和难点是求题目给出图形的面积表达式,楼主可以先画一个草图,随意取一点,作该点切线,切线与X轴Y轴相交形成一个三角形.不难看出我们需要的面积表达式就是上述三角形面积与四分之一椭圆面积的差.四分之一椭圆面积当然是小意思,于是重点出来了：
该题的核心即椭圆上一点的切线与两个坐标轴围成的切线面积的函数表达式,就是一个直角三角形的面积如何用抽象的函数去表示.
设出任意一点坐标P(X0,Y0),求出P点切线的斜率（对椭圆函数进行隐函数求导,然后代入（X0,Y0））.
已知一点P和斜率,切线的函数式很容易得出（自己算我打字打不出来).P点的切线表达式得出后再代入X=0 Y=0)求出切线与坐标轴的交点坐标,交点坐标肯定是带有函数变量的,此时在草图上可以直观的得出直角三角形的函数式.
这样本题的难关已经过去,剩下的就只剩搬公式,走程序了.注意多读几次题,把草图画对就没问题了.

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