作业帮已知曲面Z=4-X平方-Y平方 上点P处的切平面平行于2X+2Y+Z=1,则P点坐标为多少?请给出解题思路
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 20:28:04
已知曲面Z=4-X平方-Y平方 上点P处的切平面平行于2X+2Y+Z=1,则P点坐标为多少?请给出解题思路
已知曲面Z=4-X平方-Y平方 上点P处的切平面平行于2X+2Y+Z=1,则P点坐标为多少?请给出解题思路
已知曲面Z=4-X平方-Y平方 上点P处的切平面平行于2X+2Y+Z=1,则P点坐标为多少?请给出解题思路
z=4-x²-y²
z'x=-2x,z'y=-2y
P点P处的切平面的法向量n=(2x0,2y0,1)//(2,2,1)
x0=y0=1
z0=4-1-1=2
P点坐标为(1,1,2)
令F(x,y,z)=x^2+y^2+z-4=0
则曲面F(x,y,z)的切平面L方程为：F′x(x0,y0,z0)(x-x0)+F′y(x0,y0,z0)(y-y0)+F′z(x0,y0,z0)(z-z0)=0
其中：P(x0,y0,z0)为切点，F′x、F′y、F′z分别为F(x,y,z)对x、y、z的偏导
可得F′x=2x0 F′y=2y0 F′z=1
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令F(x,y,z)=x^2+y^2+z-4=0
则曲面F(x,y,z)的切平面L方程为：F′x(x0,y0,z0)(x-x0)+F′y(x0,y0,z0)(y-y0)+F′z(x0,y0,z0)(z-z0)=0
其中：P(x0,y0,z0)为切点，F′x、F′y、F′z分别为F(x,y,z)对x、y、z的偏导
可得F′x=2x0 F′y=2y0 F′z=1
又切平面L平行于平面T，所以2x0/2=2y0/2=1/1
∴x0=1 y0=1 z0=4-(x0)^2-(y0)^2=2 即 P(1,1,2)
故切平面L：2(x-1)+2(y-1)+(z-2)=0 即 2x+2y+z-6=0
2)在平面T上取点Q(0,0,0)
则向量PQ=(1,1,2)
平面T的法向量为：向量n={2,2,1}
则此曲面到平面T的最短距离S 为向量PQ到法向量n的投影的模
∴S=向量PQ·COS＜PQ,n＞
=(向量PQ·向量n)/(│向量n│)
=(1×2+1×2+2×1)/√(2^2+2^2+1^2)
=2
其中COS＜PQ,n＞表示向量PQ与向量n的夹角（锐角）的余弦
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