已知递推公式f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4)求通项公式f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4)f(1)=f(2)=2 f(3)=2 f(4)=6f(1)=f(2)=0 上面打错了这个f（n） 跟 /e 在n趋近于无穷的时候是有倍数关

已知递推公式f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4)求通项公式f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4)f(1)=f(2)=2 f(3)=2 f(4)=6f(1)=f(2)=0 上面打错了这个f（n） 跟 /e 在n趋近于无穷的时候是有倍数关
已知递推公式f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4)求通项公式
f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4)
f(1)=f(2)=2 f(3)=2 f(4)=6
f(1)=f(2)=0
上面打错了
这个f（n） 跟 /e 在n趋近于无穷的时候是有倍数关系的
给出几个f(n)方便大家检验结果
f(5)=24
f(6)=160
f(7)=1140
f(8)=8988
上面那个递推跟下面这个是等价的
f[n]=(n-1)(f[n-1]+(n-2)*f[n-3])

已知递推公式f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4)求通项公式f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4)f(1)=f(2)=2 f(3)=2 f(4)=6f(1)=f(2)=0 上面打错了这个f（n） 跟 /e 在n趋近于无穷的时候是有倍数关
令g(n)=f(n)/(n-1)!,h(n)=g(n)/n=f(n)/n!
那么g(n)=g(n-2)+h(n-3)+h(n-4)
对n求和可得
g(n)=1+h(1)+h(2)+...+h(n-3)
因此
g(n+1)-g(n)=h(n-2)
或者
(n+1)h(n+1)-nh(n)=h(n-2)
再考察幂级数
y(x)=sum h(n)x^n,
其中求和从n=1开始,当然也可以补一个h(0)=0
由上述递推关系可得
(1-x)y'(x)=x^2(y+1)
解出y(x)=exp(-x(x+2)/2)/(1-x)-1
所以f(n)就是y(x)在x=0处的n阶导数
至于有没有更初等的通项,那我也不清楚

这是高中的还是大学的？？

f(n) = sum_{0<=k<=n} (-sqrt(2))^k*cos(k*pi/4)/k!

貌似没法再化简了……好像有点意思 我看看是整数，因为cos(k*pi/4)都是用1/sqrt(2)表达的可是你k！在分母啊嗯，说得对，忘记乘以n!了……貌似有点差距啊 f(5)是24对的 f(6)是160 你算出来是144看错了……不过“通项”越来越复杂了： sum {0<...

全部展开

f(n) = sum_{0<=k<=n} (-sqrt(2))^k*cos(k*pi/4)/k!

貌似没法再化简了……

收起

∵f[n]-f[n-1]-(3/4)2^(n-2)=-2{f[n-1]-f[n-2]-(3/4)*2^(n-3)} ∴{f[n]-f[n-1]-(3/4)2^(n-2)}是首项为f[2]-f

接满意回答：
当我们知道f(n)就是y(x)在x=0处的n阶导数，
其中y(x)=exp(-x(x+2)/2)/(1-x)-1，
而h(n)=f(n)/n!，也就是y在x=0处Taylor展式的x^n的系数，
我们便可推出当n->正无穷，f(n)/n!=h(n)->e^(-3/2).
将y展成x=0处Taylor展式：
y=(1+x+x^2+.......

全部展开

接满意回答：
当我们知道f(n)就是y(x)在x=0处的n阶导数，
其中y(x)=exp(-x(x+2)/2)/(1-x)-1，
而h(n)=f(n)/n!，也就是y在x=0处Taylor展式的x^n的系数，
我们便可推出当n->正无穷，f(n)/n!=h(n)->e^(-3/2).
将y展成x=0处Taylor展式：
y=(1+x+x^2+......)(1-x*(x+2)/2+x^2 *(x+2)^2 /(2! * 2^2)-......)-1.
因为h(n)是x^n的系数，
根据(1+x+x^2+......)特点知：
h(n)是(1-x*(x+2)/2+x^2 *(x+2)^2 /(2! * 2^2)-......)中x的<=n次的系数和。
也就是取出x的<=n次的项，令x=1所得的值就是h(n).
因为(1-x*(x+2)/2+x^2 *(x+2)^2 /(2! * 2^2)-......)对x属于R绝对收敛，
所以改变顺序不影响求和，
因此n->正无穷时, h(n)=(1-x*(x+2)/2+x^2 *(x+2)^2 /(2! * 2^2)-......) |(x=1).
=e^(x*(x+2)/2) |(x=1).
=e^(-3/2).

收起