高中数学1几何题需过程已知棱锥的顶点在底面内的射影在底面的内部,其侧面与底面所成的角都相等,试说出棱锥的顶点在底面内的射影所在的位置,并证明你的结论.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 10:54:12
高中数学1几何题需过程已知棱锥的顶点在底面内的射影在底面的内部,其侧面与底面所成的角都相等,试说出棱锥的顶点在底面内的射影所在的位置,并证明你的结论.
高中数学1几何题需过程
已知棱锥的顶点在底面内的射影在底面的内部,其侧面与底面所成的角都相等,试说出棱锥的顶点在底面内的射影所在的位置,并证明你的结论.
高中数学1几何题需过程已知棱锥的顶点在底面内的射影在底面的内部,其侧面与底面所成的角都相等,试说出棱锥的顶点在底面内的射影所在的位置,并证明你的结论.
设棱锥P-ABCD...,高为PO,O在底面多边形内部,从顶点分别向底多边形边作垂线H1、H2...,连结O与各垂足,根据三垂线逆定理,则O与各边垂直,
在底面的内心 (即内切圆的圆心)
从顶点P作底面的垂线,交底面于Q,作QD垂直任意一条底边AB,交AB于D
则:角PDQ=侧面与底面所成的角=定值,记为a
QD=PQ*ctga=定值
即Q到底面任意一条边的距离相等,即Q为底面的内心
过顶点P分别作到各底边的垂线,将垂点分别命名为N1,N2……。分别作N1,N2……到顶点在底面内的射影点O的连线。设点N是点N1,N2……中的一个,则∠PNO是个固定的值(当N取遍点N1,N2……时),而∠PON是直角,垂线PO是公共边,故三角形PNO全等。那么,NO就是固定值。
根据三垂线定理,由于底边⊥PN,故底边⊥NO。
综上所述,顶点在底面内的射影O是底面多边形的内心。即底...
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过顶点P分别作到各底边的垂线,将垂点分别命名为N1,N2……。分别作N1,N2……到顶点在底面内的射影点O的连线。设点N是点N1,N2……中的一个,则∠PNO是个固定的值(当N取遍点N1,N2……时),而∠PON是直角,垂线PO是公共边,故三角形PNO全等。那么,NO就是固定值。
根据三垂线定理,由于底边⊥PN,故底边⊥NO。
综上所述,顶点在底面内的射影O是底面多边形的内心。即底面多边形的内切圆的圆心。
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