高二向量与椭圆综合题

高二向量与椭圆综合题
高二向量与椭圆综合题

高二向量与椭圆综合题
向量与椭圆的综合题
1. 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,A为椭圆上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.若向量AF2=2向量F2B,向量AF1*向量AB=2分之3,求椭圆方程
【解】A(0,b),F2(c,0),F1(-c,0),设B(x,y),
则 AF2=(c,-b),F2B=(x-c,y),
由AF2=2F2B得 c=2(x-c),-b=2y,
所以B(3c/2,-b/2)
代入椭圆方程可得 9c^2/(4a^2)+b^2/(4b^2)=1 （1）
又AF1*AB=(-c,-b)*(3c/2,-3b/2)=-3c^2/2+3b^2/2=3/2 (2)
所以,由（1）（2）及 a^2=b^2+c^2可解得 a^2=3,b^2=2,c^2=1,
因此,椭圆方程为 x^2/3+y^2/2=1.
2. F1,F2分别是椭圆x²/4+y²=1的左右焦点,若P是该椭圆上的一动点,求向量pf1•pf2的最大值和最小值
【解】x²/4+y²=1的左右焦点坐标分别是F1(-√3,0),F2(√3,0).
设P(x,y),
PF1•PF2=(-√3-x,-y)•(√3-x,-y)=x²-3+y²
因为x²/4+y²=1,所以y²=1- x²/4,
PF1•PF2= x²-3+1- x²/4=-2+ 3x²/4
而-2≤x≤2,则0≤3x²/4≤3
∴PF1•PF2的最小值是-2,最大值是1
3. 椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1•向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?
【解】因为向量MF1×向量MF2=0,所以它们的夹角为90度,
因此M的轨迹是以椭圆中心为圆心,以半焦距c为半径的圆;
依题设此圆内含于椭圆,所以c1,
则b^2/c^2>1,
(b^2+c^2）/c^2=a^2/c^2>2,
所以c^2/a^2=e^2<1/2,
故 04. F1 F2是x^2/4+y^2/3=1的左右交点 过F1的直线与椭圆交于A,B 求向量F2A•向量F2B 取值范围
【解】x²/4+y²/3=1的左右焦点坐标分别为F1(-1,0), F2(1,0).
① 当过F1的直线是x轴时,A,B两点坐标分别是(-2,0), (2,0),
此时向量F2A*向量F2B=(-3,0)•(1,0)=-3.
② 当过F1的直线不是x轴时,
设过F1的直线方程为x=my+1,与椭圆方程 x^2/4+y^2/3=1联立消去x得：
(3m²+4)y²+6my-9=0.
则y1+y2=-6m/(3m²+4),y1y2=-9/(3m²+4).
向量F2A*向量F2B=(x1-1,y1)•(x2-1,y2)
=(x1-1)(x2-1)+ y1y2= my1•my2+ y1y2
=( m²+1) •[-9/(3m²+4)]
=-9( m²+1) /(3m²+4)=-3( 3m²+3) /(3m²+4)
=-3( 3m²+4-1) /(3m²+4)=-3[1-1/(3m²+4)].
∵1/4≥1/(3m²+4)>0,∴-9/4≥-3[1-1/(3m²+4)]>-3.
综上①②可知：向量F2A*向量F2B 取值范围是[-3,-9/4].
5. 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率为(3^-1)/2,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点,若向量AF=3向量FB,则k=?
【解】做椭圆右准线,从A、B分别做准线的垂线AM、BN,垂足M、N,
做BD⊥AM,垂足D,
根据椭圆第二定义,
e=|AF|/|AM|,
e=|BF|/BN|,
|AF|/|BF|=|AM|/BN|=3,
|AM|=3|BN|,
|MD|=|NB|,
|AD|=2|MD|,
|AD|=2|MA|/3,
又因|AF|/|AM|=√3/2,所以|AB|=4/3|AF|=2√3/3|AM|,
∴|AD|/|AB|=√3/3,
设直线倾斜角是θ,即有cosθ=√3/3,
所以直线斜率k=tanθ=√2.
6. 椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点,为F1（-c,0）,F2（c,0）,M是椭圆上一点,满足向量F1M*向量F2M=0
(1)求离心率e的取值范围.
（2)当离心率e取得最小值时,点N（0,3）到椭圆的点的最远距离为5根号2,求此时椭圆方程.
【解】答案为：√2/2 =（1）
F1M*F2M=0,说明向量F1M⊥F2M,则
F1M＾2＋F2M＾2＝4c^2
设点为M（x,y)则
(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2=4c^2
即x^2+y^2=c^2
又点在椭圆上故：
x^2/a^2+y^2/b^2=1,b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
两式联立,消去y:
b^2x^2+a^2(c^2-x^2)=a^2b^2
整理得：
c^2x^2=a^2(c^2-b^2)
x^2=a^2(c^2-b^2)/c^2=a^2(2c^2-a^2)/c^2
因为点M在椭圆上,所以0≤|x|≤a,
即0≤x^2≤a^2.
∴0≤a^2(2c^2-a^2)/c^2≤a^2
即2c^2-a^2 ≥0,且(2c^2-a^2)/c^2≤1
2c^2 ≥a^2,且(2c^2-a^2)/c^2≤1
e^2≥1/2,且2-1/e^2≤1
1/2≤e^2≤1
所以√2/2≤e<1.
【另法】
可以设椭圆上的一点M为(x,y),又因M在椭圆上,所以可以把y换成含有x的代数式,即M(x,[b√(a^2-x^2)]/a).
所以F1M=(x+c,[b√(a^2-x^2)]/a);
MF2=(c-x,-[b√(a^2-x^2)]/a);
又因根据条件：F1M*F2M=0 .
所以即：（x+c）*（c-x）-{[b√(a^2-x^2)]/a*[b√(a^2-x^2)]/a}=0(向量知识)
划简出来得：x^2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)
又因M在椭圆上,所以x有取值范围,即-a=所以0=所以即：0=<(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=先算(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)>=0
在划简过程中把b^2换成a^2-c^2(椭圆性质）
最后得：2c^2-a^2>=0
同除a^2,为2*(c/a)^2-1>=0
即e^2>=1/2,所以e>=√2/2,e<=-√2/2(舍去）
再算(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=同样在划简过程中把b^2换成a^2-c^2
最后算的e^2<=1 ,即0所以e的范围取交集,即√2/2 =（2）
当离心率取得最小值时即 e=√2/2 .
又因在椭圆中b^2/a^2=1-e^2(你自己推一下）
所以带入e^2的值,得到:b^2=1/2*a^2
所以可设椭圆方程为:x^2/a^2+y^2/(1/2*a^2)=1
设P(x,y)为椭圆上的一点,
点N（0,3）到P的距离为：S=√x^2+(y-3)^2
把y^2用x^2代替(用你设的椭圆方程推出来) ,
即:S=√a^2-2y^2+(y-3)^2
配方,最后得S=√-(y+3)^2+a^2+18
所以当y=-3时有最大值
即5√2=√a^2+18
所以a^2=32 ,b^2=16
所以椭圆方程为x^2/32+y^2/16=1.