作业帮如何证明2^（1/3）是无理数?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 10:43:08
如何证明2^（1/3）是无理数?
如何证明2^（1/3）是无理数?
如何证明2^（1/3）是无理数?
反证法：
假设2^(1/3)是有理数,则2^(1/3)可以表示成q/p的形式
其中p和q为互质的正整数
2=(q/p)^3
2*p^3=q^3
将p和q进行质因数分解
令p=p1^a1*p2^a2*...*pm^am q=q1^b1*q2^b2*...*qn^bn
其中pi和qj分别为从小到大排序的质数,且pi≠qj (i=1,2,...,m j=1,2,...,n) ai和bj为正整数
则2*p1^3a1*p2^3a2*...*pm^3am=q1^3b1*q2^3b2*...*qn^3bn
因为2是质数,所以q1=2
p1^3a1*p2^3a2*...*pm^3am=2^(3b1-1)*q2^3b2*...*qn^3bn
所以p1=2
因为p和q都含有相同的质因数2,这与p、q互质矛盾
所以2^(1/3)是无理数
假设它是有理数，则一定有它＝(p/q)其中p.q都是整数且p，q互质(没有公因数)，则(p/q)∧3＝2，即p∧3＝2q∧3，则p∧3为偶数，则p为偶数，那么(p∧3)/2＝q∧3定为偶数，那么由q∧3为偶数，q为整数，则q同样为偶数，显然，p.q都为偶数，与p.q互质矛盾。。则它为无理数...
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假设它是有理数，则一定有它＝(p/q)其中p.q都是整数且p，q互质(没有公因数)，则(p/q)∧3＝2，即p∧3＝2q∧3，则p∧3为偶数，则p为偶数，那么(p∧3)/2＝q∧3定为偶数，那么由q∧3为偶数，q为整数，则q同样为偶数，显然，p.q都为偶数，与p.q互质矛盾。。则它为无理数
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反证：
设a = 2^(1/3)为有理数
则a = m/n，m和n为整数且互质
2^(1/3)=m/n
2 = m^3/n^3
2n^3 = m^3
所以m是2的倍数
设m=2k
2n^3 = (2k)^3
n^3 = 4k^3
说明n也是2的倍数
这与m,n互质矛盾
所以2^(1/3)为无理数