证明6能整除（6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 22:58:00

证明6能整除（6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数
证明6能整除（6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数

证明6能整除（6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数
证明：
n=1时,（6^n-3^n-2^n)-1=0能被6整除；
假设n=2k-1时,（6^n-3^n-2^n)-1=0能被6整除（k=1,2,...）
即存在整数p,使得6p=[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1
那么n=2(k+1)-1=2k+1时,
（6^n-3^n-2^n)-1=6^(2k+1)-3^(2k+1)-2^(2k+1)-1
=36*6^(2k-1)-9*3^(2k-1)-4*2^(2k-1)-1
=4*{[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1}+12*6^(2k-1)-5*3^(2k-1)+3
前两项4*{[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1}和12*6^(2k-1)显然能被6整除.
-5*3^(2k-1)+3能被3整除,
因为-5*3^(2k-1)和3都是奇数,所以-5*3^(2k-1)+3是偶数,能被6整除.
因此6^(2k+1)-3^(2k+1)-2^(2k+1)-1能被6整除.
由数学归纳法知,6能整除（6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数.

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