求实数x,y的值使得(y-1)^2+(x+y-3)^2+(2x+y-6)^2取到最小值能否用不等式有关知识解答
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/14 04:05:48
求实数x,y的值使得(y-1)^2+(x+y-3)^2+(2x+y-6)^2取到最小值能否用不等式有关知识解答
求实数x,y的值使得(y-1)^2+(x+y-3)^2+(2x+y-6)^2取到最小值
能否用不等式有关知识解答
求实数x,y的值使得(y-1)^2+(x+y-3)^2+(2x+y-6)^2取到最小值能否用不等式有关知识解答
令a=y-1 b=x+y-3 c=2x+y-6
可得a-2b+c=-1
则原式=a^2+b^2+c^2
=a^2+1/4 b^2+1/4 b^2+ 1/4b^2 +1/4b^2+c^2
>=1/6(a-1/2b-1/2b-1/2b-1/2b+c)^2=1/6(a-2b+c)^2=1/6
取等条件a=-1/2b=c
即y-1 = -1/2 (x+y-3) = 2x+y-6
解得 x=5/2 y=5/6 此时最小值1/6
思路:将平方项分别展开,重新得到关于x 和y的完全平方公式,最后应该是x 和y的平方项分别为0时,表达式有最小值。
结果:x=5/2 ,y=10/3
设Z=(y-1)2 (x y-3)2 (2x y-6)2对xy求偏导得dz/dy=6y 6x-20,dz/dx=10x 6y-30,令上两式为0解得x=-5/2,y=55/6.对上两式求二次偏导,d2z/dx2=A=10,d2z/dy2=B=6,d2z/dxy=C=6,AB-C2=24>0故(-5/2,55/6)为所求(呵呵,手机打的很鬼异)
将y-1,x+y-3,和2x+y-6画在直角坐标系中。再画一条垂直于x轴的线和三条直线有三个交点,由题意可知三个交点到x轴距离最小的就是所求值。 y=1,x=3时