复变函数证明,Q是n阶多项式,有不同的n个解 a1,a2,a3.an ,P是小于n阶多项式,证明P(z)/Q(z)=P(a1)/Q'(a1)(z-a1)+P(a2)/Q'(a2)(z-a2)+P(a3)/Q'(a3)(z-a3)+.P(an)/Q'(an)(z-an)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 10:26:31
复变函数证明,Q是n阶多项式,有不同的n个解 a1,a2,a3.an ,P是小于n阶多项式,证明P(z)/Q(z)=P(a1)/Q'(a1)(z-a1)+P(a2)/Q'(a2)(z-a2)+P(a3)/Q'(a3)(z-a3)+.P(an)/Q'(an)(z-an)
复变函数证明,
Q是n阶多项式,有不同的n个解 a1,a2,a3.an ,P是小于n阶多项式,证明P(z)/Q(z)=P(a1)/Q'(a1)(z-a1)+P(a2)/Q'(a2)(z-a2)+P(a3)/Q'(a3)(z-a3)+.P(an)/Q'(an)(z-an)
复变函数证明,Q是n阶多项式,有不同的n个解 a1,a2,a3.an ,P是小于n阶多项式,证明P(z)/Q(z)=P(a1)/Q'(a1)(z-a1)+P(a2)/Q'(a2)(z-a2)+P(a3)/Q'(a3)(z-a3)+.P(an)/Q'(an)(z-an)
显然Q(z)=A(z-a1)(z-a2)...(z-an),A是其最高次项系数.
按照求导的乘法规则,有
Q'(z)=A(z-a2)...(z-an) +
A(z-a1)(z-a3)...(z-an) + ...+
A(z-a1)(z-a2)...(z-a_{n-1})
所以 Q'(a1) = A(a1-a2)(a1-a3)...(a1-an)
Q'(a2) = A(a2-a1)(a2-a3)...(a2-an)
...
对要证明的式子两边乘以Q(z)
得到P(z) = P(a1)A(z-a2)(z-a3)...(z-an)/Q'(a1) + ...
两边代入 a1,左边=P(a1)
右边=P(a1)A(a1-a2)*...*(a1-an)/Q'(a1)=P(a1)
同样可以验证对于n个互不相同的a1,...,an,两边都相等.
而注意两边都是不超过n-1阶的多项式,所以两边恒等.