作业帮A是奇数阶对称阵,所有元素都是整数,且对角元都是偶数,证明A的行列式一定是偶数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 07:48:43
A是奇数阶对称阵,所有元素都是整数,且对角元都是偶数,证明A的行列式一定是偶数
A是奇数阶对称阵,所有元素都是整数,且对角元都是偶数,证明A的行列式一定是偶数
A是奇数阶对称阵,所有元素都是整数,且对角元都是偶数,证明A的行列式一定是偶数
设n阶对称阵A=(a[i][j]),其中a[i][j]=a[j][i],且a[i][i]均为偶数,n为奇数
因为A的行列式为所有乘积±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]的和,其中
i[1],i[2],...,i[n]是1,2,...,n的一个排列,±号取决于排列的奇偶性
当存在ik=k时,a[k][ik]为偶数,∴此时±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]为偶数
当不存在ik=k时,考虑a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]的对称项
a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n],由于n为奇数,所有这两项是不同项
这是因为若二者相同,∵ik≠k,∴a[ik][k]∈{a[1][i1],a[2][i2],...,a[n][in]}\{a[k][ik]}
这样{a[1][i1],a[2][i2],...,a[n][in]}中的数刚好可以两两配对,即n为偶数,矛盾
又由于A对称,∴a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n]=a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]
∴考虑它们的代数和±a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n] + (±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in])
若±号相同,显然结果为偶数,若±号相异,则结果为0,也为偶数
∴通过这样的配对之后,可知A的行列式可以分成这样若干个偶数之和
即A的行列式一定也是偶数
奇数个根，和（迹）为偶数，其中必有偶数，积（行列式）就一定为偶数。