已知a大于0,b大于0,且a+b=2,求1/a+2/b的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/03 04:16:45

已知a大于0,b大于0,且a+b=2,求1/a+2/b的最小值
已知a大于0,b大于0,且a+b=2,求1/a+2/b的最小值

已知a大于0,b大于0,且a+b=2,求1/a+2/b的最小值
1/a+2/b
=(1/a+2/b)*(a+b)/2
=1/2*(1+b/a+2a/b+2)
=1/2(3+b/a+2a/b)
>=1/2(3+2根号(b/a*2a/b))
=3/2+根号2

1/a+2/b=(1/a+2/b)*(a+b)/(a+b)
a+b=2
所以1/a+2/b=[(1/a+2/b)*(a+b)]/2=(3+b/a+2a/b)/2
用均值不等式
min值为3/2+根号2

用基本不等式
因为(a+b)/2=1
所以1/a+2/b
=(1/a+2/b)*(a+b)/2
=(3+b/a+2*a/b)/2
≥(3+2*sqr(b/a*2*a/b))/2
=(3+2sqr2)/2
=3/2+sqr2
此时 b/a=2*a/b
a+b=2
解之得 a=……,b=……
故最小值为3/2+sqr2
注sqr()表根号

Cauchy 不等式
LZ要学会这一招啊~

由a>0,b>0;设a=x的平方,b=y的平方;且b=2-a;1/a+2/b>或=2乘1/x乘根号2/y;有x2+y2=2>或=2xy;所以xy<=1;所以2*根号2/(xy)<=2倍根号2.
即最小值为2倍根号2