大一微积分解答:已知x>0.证明ln{(x+1)/x}>1/(1+x).
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 03:27:14
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考虑f(t)=ln(1+t)
在[0,x]上用拉格朗日中值定理:
ln(1+x)=[1/(1+ξ)]x 0
考虑f(t)=ln(1+t)-t/(1+t),定义域t>0,
f'(t)=1/(1+t)-1/(1+t)^2=t/(1+t)^2>0,因此f(t)是递增函数,f(t)>f(0)=0,即
ln(1+t)>t/(1+t)。令t=1/x,x>0,代入得
ln(1+1/x)>(1/x)/(1+1/x),化简即得结论。
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