作业帮圆的解析几何
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 16:18:44
圆的解析几何
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圆的解析几何
(1)∠C的角平分线为：y=2x 则点B关于直线l:y=2x的对称点B1在直线AC上.设点B1（x1,y1） 则有：方程组:
｛ 2*（1-y1)/(3-x1)=-1.① （y1+1)/2=2*{(x1+3)/2}.②}
由① ②方程组解得：x1=-1 ,y1=3 ∴点B1（-1,3）
则直线AC的斜率为：k(AC)=(3-2)/(-1+4)=1/3
∴直线AC的方程为：y-2=(x+4)/3 即：y=x/3+10/3
联立方程l与AC方程：｛y=2x.③ y=x/3+10/3 .④｝解得：
x=2 ,y=4 即点C的坐标为C（2,4）
设圆 O’的方程为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 将点A（-4,2） B（3,1）
C（2,4）代人圆O’方程得：
｛20-4D+2E+F＝0 ,10+3D+E+F=0 ,20+2D+4E+F=0 }
解得：｛D＝1 ,E＝-3 F=-10 }
∴圆 O’的方程为：x^2+y^2+x-3y-10=0 即：（x+1/2)^2+(y-3/2)^2=25/2
（2）① 当l1,l2的斜率一条为0 ,一条不存在时 则不妨设：l1的方程：
x=1 l2的方程：y=2 ∵圆 O’的半径为：r＝√（25/2）
圆心O’（-1/2,3/2） ,则圆心O’到l1的距离为：d1＝3/2
圆心O’到l2的距离为：d2＝1/2
∴l1被圆O’截得的弦长为：L1＝2*√（r^2-d1^2)=√41
l2被圆O’截得的弦长为：L2=2*√(r^2-d2^2)=√49=7
此时 L1+L2=7+√41
②当l1,l2的斜率存在时,设l1的斜率为k 则l2的斜率为-1/k
则l1的方程：y-2=k(x-1)
圆心O’到l1的距离为：d1=│1-3k│/{2*√(k^2+1)}
∴l1被圆O’截得的弦长为：L1＝2*√（r^2-d1^2)=√{(41k^2+6k+49)/(k^2+1)}=√[{41(k^2+1)+8+6k}/(k^2+1)]=√{41+(6k+8)/(k^2+1)}
同理可得：l2被圆O’截得的弦长为：L2＝√｛49-（6k+8)/(k^2+1)}
令（6k+8)/(k^2+1)＝t ∴L1=√(41+t) L2=√(49-t)
通过判别式法求得-1≤t≤9 令f(t)=√(41+t)+√(49-t)
通过求导法得：当-1≤t≤4时 f(t)为增函数 当4＜t≤9时 f(t)为减函数 ∴f(t)max=f(4)=2*√45＞(√41+7）
∴l1与l2被圆O’截得的弦长之和的最大值为2*√45
（3）假设存在点Q 设点Q的坐标为：Q（a,b） ∵l1⊥l2 且l1与l2被圆O’截得的弦长相等 即圆心O’到l1与l2距离相等
设l1斜率为k 则l2斜率为-1/k 则l1的方程为：y-b=k(x-a)
圆心O’到l1的距离为：d1=│-(1/2+a)*k+b-3/2│/√(k^2+1)
同理可得：圆心O’到l1的距离为：d2=│(b-3/2)*k+1/2+a│/√(k^2+1)
∵d1=d2 ∴│-(1/2+a)*k+b-3/2│=│(b-3/2)*k+1/2+a│
即：-(1/2+a)*k+b-3/2│=(b-3/2)*k+1/2+a 或
-(1/2+a)*k+b-3/2│=-(b-3/2)*k-1/2-a 有无数个k的解
∴有方程组｛ -1/2-a=b-3/2 ,b-3/2=1/2+a }
解该方程组得：a＝-1/2 ,b=3/2
或 另一方程组｛-1/2-a=b-3/2 ,b-3/2=1/2+a ｝ 解得：a＝-1/2 ,b=3/2
∴存在点Q 点Q的坐标为 （-1/2,3/2）
若有疏漏之处请谅解!
如有不懂可再问我.