作业帮设a,b,c为正数,M=a^5+b^5+c^5,N=bca^3+acb^3+abc^3,则M N的大小关系是,证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 13:26:31
设a,b,c为正数,M=a^5+b^5+c^5,N=bca^3+acb^3+abc^3,则M N的大小关系是,证明
设a,b,c为正数,M=a^5+b^5+c^5,N=bca^3+acb^3+abc^3,则M N的大小关系是,证明
设a,b,c为正数,M=a^5+b^5+c^5,N=bca^3+acb^3+abc^3,则M N的大小关系是,证明
1. 证明 3(a^5+b^5+c^5) >= (a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)
3(a^5+b^5+c^5) - (a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)
=3(a^5+b^5+c^5) - { a^5+b^5+c^5 + a^3b^2 + a^2b^3 + b^3c^2 + b^2c^3 + c^3a^2 + c^2a^3 }
=(a^5-a^3b^2-a^2b^3-b^5)+(b^5-b^3c^2-b^2c^3-c^5)+(c^5-c^3a^2-c^2a^3-a^5)
=(a^3-b^3)(a^2-b^2)+(b^3-c^3)(b^2-c^2)+(c^3-a^3)(c^2-a^2)
>=0 （等号在 a=b=c 的时候成立）
2. 证明 a^3+b^3+c^3 >= 3abc
（算数平均 >= 几何平均）等号在a=b=c的时候成立.
具体证明方法很麻烦,自己查一下.不过这个不等式很有名,所以没有明确的要求,可以不用证明.
M
=(a^5+b^5+c^5)
>= {(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)}/3 （because 证明1）
=(a^2+b^2+c^2){(a^3+b^3+c^3)/3}
=(a^2+b^2+c^2){3abc/3} （because 证明2）
=abc(a^2+b^2+c^2)=N
等号在a=b=c的时候成立.