作业帮自然数a,b,c,d满足等式ab=cd.求证:k=a^1984+b^1984+c^1984+d^1984是合数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 15:33:26
自然数a,b,c,d满足等式ab=cd.求证:k=a^1984+b^1984+c^1984+d^1984是合数
自然数a,b,c,d满足等式ab=cd.求证:k=a^1984+b^1984+c^1984+d^1984是合数
自然数a,b,c,d满足等式ab=cd.求证:k=a^1984+b^1984+c^1984+d^1984是合数
假设 a不等于c,b不等于d,否则易证
首先,a与b必定一偶一奇,c与d同理 ,否则易证
设a=2^m * p,c=2^n *q,p与q均为奇数,由ab=cd可以推出m＝n
则两边消去2的幂后,得到pb＝qd
假设p,b互质,则q和d一定一个是p×b,一个是1,不妨设q＝p×b,d＝1,则c＝a×b,则k＝a＾1984＋b＾1984＋（ab）＾1984＋1＝（a＾1984＋1）（b＾1984＋1）是合数
同理q与d互质时易证
假设p,b不互质,q与d不互质,设p,b最大公约数为s,q与d最大公约数为t,则
p＝sp＇,b＝sb＇,q＝tq＇,d＝td＇,其中p＇与b＇互质,q＇与d＇互质
则pb＝qd可以得出s＾2×p＇×b＇＝t＾2×q＇×d＇.如果s和t不互质,则p,b,q,d就有大于1的最大公约数r,那么k必定包含r＾1984这个因子,为合数.若s和t互质,那么由式子s＾2×p＇×b＇＝t＾2×q＇×d＇,s＾2必被q＇×d＇整除,由于q＇和d＇互质,所以只有q＇和d＇一个是s＾2的整数倍,一个是1,同理p＇和b＇一个是t＾2的整数倍,一个是1,那么p＇b＇q＇d＇四个数,必定两个相等,两个是1,带入k仍然易证为合数
由于ab=cd，
故由质因数分解定理知，存在正整数e、f、g、h，
使得c=ef，d=gh，a=eg，b=fh，
于是a^1984+b^1984+c^1984+d^1984=（e^942+h^942）（f^942+g^942）
所以k为合数