作业帮如果方程sinx的平方+cosx+k=0有解,则常数k的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 17:45:27
如果方程sinx的平方+cosx+k=0有解,则常数k的取值范围
如果方程sinx的平方+cosx+k=0有解,则常数k的取值范围
如果方程sinx的平方+cosx+k=0有解,则常数k的取值范围
(sinx)^2+(cosx)^2=1
所以方程是1-(cosx)^2+cosx+k=0
k=(cosx)^2-cosx-1=(cosx-1/2)^2-5/4
因为-1<=cosx<=1
所以-3/2<=cosx-1/2<=1/2
所以0<=(cosx-1/2)^2<=9/4
-5/4<=(cosx-1/2)^2-5/4<=1
-5/4<=k<=1
首先一看到sin²x就想到它是1-cos²x，这就统一参量了，全部是关于cosx的式子，就好解多了。
1-t²+t+k=0（t=cosx）也就是t²-t-(k+1)=0这是个标准的关于t的一元二次方程，要求t有解就完了吗？肯定不行，我们要求必须至少有一个解在[-1,1]内，因为t是cosx，必须满足这个范围，在几何上就是说图象必须在[-1,1]范围内...
全部展开
首先一看到sin²x就想到它是1-cos²x，这就统一参量了，全部是关于cosx的式子，就好解多了。
1-t²+t+k=0（t=cosx）也就是t²-t-(k+1)=0这是个标准的关于t的一元二次方程，要求t有解就完了吗？肯定不行，我们要求必须至少有一个解在[-1,1]内，因为t是cosx，必须满足这个范围，在几何上就是说图象必须在[-1,1]范围内和x轴有交点。
然后图象法最简单，t²-t-(k+1)=0是y=t²-t上下平移-(k+1)个单位（或者向下平移(k+1)个单位）的结果，画个图，很容易看出如果向上平移1/4个单位就正好和x轴相切，再往上就无解了，于是-(k+1)≤1/4，k≥-5/4；然后y=t²-t向下平移2单位就正好和x轴交于(-1,0)，再往下平移就不行了，有交点但会超出[-1,1]的范围。因此k+1≤2，k≤1.
综上-5/4≤k≤1。楼主看看是不是这个答案。
收起