在三角形中,两个角平分线相等,请问这个三角形是等腰三角形嘛?为什么?怎样证明关于这已经困扰了我五六年了

在三角形中,两个角平分线相等,请问这个三角形是等腰三角形嘛?为什么?怎样证明关于这已经困扰了我五六年了
在三角形中,两个角平分线相等,请问这个三角形是等腰三角形嘛?为什么?怎样证明
关于这已经困扰了我五六年了

在三角形中,两个角平分线相等,请问这个三角形是等腰三角形嘛?为什么?怎样证明关于这已经困扰了我五六年了
设三角形ABC,角B、角C的平分线是BE、CD
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β

假设等腰三角形两底角的平分线相等
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BE、CD是底角的平分线，
∴∠EBC=∠DCB，
又BC=BC，
∴△DCB≌△ECB，
∴BE=CD，
等腰三角形两底角的平分线相等．我知道这是一种假设法，请问你可以用正面的方法为我解嘛？？只是一个问题提示你，它是一个等腰三角形，假如没有这个提示呢http...

全部展开

假设等腰三角形两底角的平分线相等
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BE、CD是底角的平分线，
∴∠EBC=∠DCB，
又BC=BC，
∴△DCB≌△ECB，
∴BE=CD，
等腰三角形两底角的平分线相等．

收起

"两个角平分线相等"指的是角度相等还是长度相等？

设三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD
作BE平移到点D 延长BC 交与点F 连结DE
易得四边形DEBF为平行四边形
∴∠F=∠EBC
∵BE=DC
∴DF=DC
∴∠DCF=∠DFC
∴∠EBC=∠DCB
∵∠DBE=∠EBC ∠ECD=∠DCB
∴∠DBE=∠ECD ∠DBC=∠ECB
∴△A...

全部展开

设三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD
作BE平移到点D 延长BC 交与点F 连结DE
易得四边形DEBF为平行四边形
∴∠F=∠EBC
∵BE=DC
∴DF=DC
∴∠DCF=∠DFC
∴∠EBC=∠DCB
∵∠DBE=∠EBC ∠ECD=∠DCB
∴∠DBE=∠ECD ∠DBC=∠ECB
∴△ABC是等腰三角形

收起

斯坦纳——雷米欧司定理纯几何证明很难
1三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+...

全部展开

斯坦纳——雷米欧司定理纯几何证明很难
1三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BC=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
2设三角形ABC,∠B=2a,∠C=2b,角平分线BD=CE
分别以BD,CE为底边,以a+b为底角向上做两个等腰三角形BDF,CEG
连接AF,AG
则ADBF四点共圆,AGCE四点也共圆
因∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度
所以FAG共线
∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180度
所以BCGF四点共圆
因△FBD≌△GEC
所以BF=CG,结合共圆条件得FG//BC,等腰梯形,∠FBC=∠GCB
b+a+a=b+b+a
3整理得∠B=∠C 设:△ABC,BD,CE分别为∠B,∠C的角平分线,∠B,∠C的一半分别为α、β
由正弦定理可得:
sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,
∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0
==>sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0
==>sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0
==>sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0
∴sin[(α-β)/2]＝0
∴α＝β,∴∠B=∠C; ∴AB=AC
4反证法三角形ABC中 角平分线AD和BE交于O 不妨设∠CAB>=∠CBA
在OE上取一点M使∠OAN=∠OBD 连接AM并延长 交BC于N
所以△ADN相似于△BMN 因为BM<=AD所以AN>=BN
所以∠NBA>=∠NAB=∠MAO+∠DAB=(∠CBA+∠CAB)/2所以∠CBA>=∠CAB
又因为假设∠CAB>=∠CBA所以∠CAB=∠CBA所以CA=CB 三角形为等腰三角形
这四个方法算是比较简便

收起

如图所示