已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1AG=(1/3)AB+(1/3)ACAM=xAB,AN=yAC于是mx=1/3,ny=1/3得m=1/(3x),n=1/(3y)于是1/(3x
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/02 20:55:16
已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1AG=(1/3)AB+(1/3)ACAM=xAB,AN=yAC于是mx=1/3,ny=1/3得m=1/(3x),n=1/(3y)于是1/(3x
已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?
AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1
AG=(1/3)AB+(1/3)AC
AM=xAB,AN=yAC
于是mx=1/3,ny=1/3
得m=1/(3x),n=1/(3y)
于是1/(3x)+1/(3y)=1
3=(x+y)/xy
得xy/(x+y)=1/3
问:为什么m+n=1,还有为什么1/3AM+1/3AN=AG?
已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1AG=(1/3)AB+(1/3)ACAM=xAB,AN=yAC于是mx=1/3,ny=1/3得m=1/(3x),n=1/(3y)于是1/(3x
先回答第一个问题:
这是一个向量共线的基本问题:如果向量满足OA=mOB+nOC的关系(其中m、n为非零实数),且A、B、C三点共线,则必有m+n=1;相反地,如果向量满足OA=mOB+nOC的关系(其中m、n为非零实数),且m+n=1,则必有A、B、C三点共线.证明如下(以本题为例):
因为向量MG与向量MN共线(为表述方便,以下线段均指向量),则MG=λMN(λ≠0)
而MG=AG-AM,MN=AN-AM
所以AG-AM=λ(AN-AM),整理得AG=(1-λ)AM+λAN
令m=1-λ,n=λ,则m+n=1.证毕
第二问题引用有误,不是1/3AM+1/3AN=AG,而是1/3AB+1/3AC=AG
这是重心定理的应用:重心到顶点的距离等于该中线的2/3.以上1/3AB+1/3AC=AG是正确的,理由如下:
设A点的中线为AD,由平行四边形法则(将三角形补成平行四边形)知2AD=AB+AC
而AG=2/3AD
所以有1/3AB+1/3AC=AG