已知AM是三角形ABC的边BC上的中线,求证:AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)我的财富过低啊没法给更多的分 请给位大侠帮助解决
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/06 21:22:02
已知AM是三角形ABC的边BC上的中线,求证:AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)我的财富过低啊没法给更多的分 请给位大侠帮助解决
已知AM是三角形ABC的边BC上的中线,求证:AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)
我的财富过低啊没法给更多的分 请给位大侠帮助解决
已知AM是三角形ABC的边BC上的中线,求证:AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)我的财富过低啊没法给更多的分 请给位大侠帮助解决
过A作BC边上的高AE
因为:AE是高线
所以:AB^2=AE^2+BE^2=AE^2+(BM+ME)^2=AE^2+BM^2+2BM*ME+ME^2
AC^2=AE^2+EC^2=AE^2+(CM-ME)^2=AE^2+CM^2+2CM*ME+ME^2
因为:AM是中线
所以:BM=CM
所以:AB^2+AC^2=AE^2+BM^2+ME^2+AE^2+CM^2+ME^2
=2BM^2+2(AE^2+ME^2)
AE^2+ME^2=AM^2
所以:AB^2+AC^2=2BM^2+2AM^2=2(AM^2+BM^2)
余弦定理:AB^2=MA^2+MB^2-2MA*MB*cos(角AMB)
AC^2=MA^2+MC^2-2MA*MC*cos(角AMC)
角AMB+角AMC=180度,cos(角AMB)+cos(角AMC)=0
两式相加:AB^2+AC^2=2MA^2+MB^2+MC^2=2(AM^2+BM^2)
延长AM至N,使得AN=2AM
连接BN,则有:
NM=AM (作图)
∠NMB=∠AMC (对顶角相等)
BM=CM (已知)
∴△NMB≌△AMC (SAS)
∴NB=AC,∠MBN=∠MCA
∴BN‖AC
∴∠ABN和∠BAC互补
∴cos∠ABN=-cos∠BAC
由余弦定理,在△ABN中有:
AN^2...
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延长AM至N,使得AN=2AM
连接BN,则有:
NM=AM (作图)
∠NMB=∠AMC (对顶角相等)
BM=CM (已知)
∴△NMB≌△AMC (SAS)
∴NB=AC,∠MBN=∠MCA
∴BN‖AC
∴∠ABN和∠BAC互补
∴cos∠ABN=-cos∠BAC
由余弦定理,在△ABN中有:
AN^2=AB^2+BN^2-2·AB·BN·cos∠ABN
=AB^2+AC^2+2·AB·AC·cos∠BAC………………(1)
在△ABC中有:
BC^2=AB^2+AC^2-2·AB·AC·cos∠BAC…………(2)
(1)+(2),得:
AN^2+BC^2=2(AB^2+AC^2)
又AN^2+BC^2=(2AM)^2+(2BM)^2=4AM^2+4BM^2=2(2AM^2+2BM^2)
∴AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)
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