已知a+b+c+d=0,a的三次方+b的三次方+c的三次方+d的三次方=3 ,求abc+bcd+cda+dab的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 10:16:27
已知a+b+c+d=0,a的三次方+b的三次方+c的三次方+d的三次方=3 ,求abc+bcd+cda+dab的值
已知a+b+c+d=0,a的三次方+b的三次方+c的三次方+d的三次方=3 ,求abc+bcd+cda+dab的值
已知a+b+c+d=0,a的三次方+b的三次方+c的三次方+d的三次方=3 ,求abc+bcd+cda+dab的值
a+b+c+d=0
(a+b+c+d)³=0
a³+b³+c³+d³+3a²b+3a²c+3a²d+3ab²+3b²c+3b²d+3ac²+3bc²+3c²d+3ad²+3bd²+3cd²+6abc+6bcd+6cda+6dab=0 (1)
∵a+b+c+d=0
∴a³+a²b+a²c+a²d=0
∴3a²b+3a²c+3a²d=-3a³ (2)
同理:3ab²+3b²c+3b²d=-3b³ (3)
3ac²+3bc²+3c²d=-3c³ (4)
3ad²+3bd²+3cd²=-3d³ (5)
将(2)、(3)、(4)、(5)代入(1)得:
a³+b³+c³+d³-3a³-3b³-3c³-3d³+6abc+6bcd+6cda+6dab=0
abc+bcd+cda+dab=1/3(a³+b³+c³+d³)=1
(a+b+a+d)(a²+b²+c²+d²-2ab-2bc-2cd-2ad)=a³+b³+c³+d³+ab²+ac²+ad²-2a²b-2bac-2acd-2a²d+a²b+c²b+bd²-2ab²-2b²c-2bcd-2abd+...+)
=a³+b³+c³+d³-3(abc+bcd+cda+dab)
abc+bcd+cda+dab=1
abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)=-ab(a+b)-cd(c+d)=-(a平方b+ab平方+c平方d+cd平方) ①
因为 (a的三次方+c的三次方)+(b的三次方+d的三次方)=3
所以 (a+c)(a平方-ac+c平方)+(b+d)(b平方-bd+d平方)=3
因为a+b+c+d=0 所以a+c=-(b+d)
...
全部展开
abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)=-ab(a+b)-cd(c+d)=-(a平方b+ab平方+c平方d+cd平方) ①
因为 (a的三次方+c的三次方)+(b的三次方+d的三次方)=3
所以 (a+c)(a平方-ac+c平方)+(b+d)(b平方-bd+d平方)=3
因为a+b+c+d=0 所以a+c=-(b+d)
-{(d+b)(a平方-ac+c平方)+(a+c)(b平方-bd+d平方)}=3
-{a平方d-acd+dc平方+a平方b-abc+bc平方+ab平方-abd+ad平方+b平方c-bcd+cd平方}=3 由①知 此式中的dc平方+a平方b+ab平方+cd平方可换为abc+bcd+cda+dab
整理后得 -(a平方d+bc平方+ad平方+b平方c)=3
ad(a+d)+bc(b+c)=-3
ad(b+c)+bc(a+d)=3
abd+acd+abc+bcd=3
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