抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为Y轴,C上动点P到直线l:3x+4y-12=0的最短距离为1,求抛物线C的方程.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 03:19:54

抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为Y轴,C上动点P到直线l:3x+4y-12=0的最短距离为1,求抛物线C的方程.
抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为Y轴,C上动点P到直线l:3x+4y-12=0的最短距离为1,求抛物线C的方程.

抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为Y轴,C上动点P到直线l:3x+4y-12=0的最短距离为1,求抛物线C的方程.
直线l:3x+4y-12=0的斜率k=-3/4,y轴上的截距-3,
抛物线如果开口向下,与直线l会相交,最短距离不会等于1,
所以抛物线开口向上,设其方程为:x²=2py,
抛物线上到直线l距离最短的点,是平行于l的抛物线的切线m的切点,
最短距离就是切线到l的距离.
设m的方程为3x+4y+q=0,令m和l的距离|q-(-12)|/√(3²+4²)=1,
求得q=-7 or -17,q=-17在l下方,舍去.所以m:3x+4y-7=0.
3x+4y-7=0,x²=2py联立,代入得2x²+3px-7p=0,
只有一个公共点,Δ=9p²+56p=p(9p+56)=0,得P=-56/9
所以C的方程:x²=2(-56/9)y,即 9x²+112y=0

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