我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连结OA,OC.再过点O作OE‖AC交CD于E,则直线AE即为一条“好线”.（1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/05 21:39:23

我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连结OA,OC.再过点O作OE‖AC交CD于E,则直线AE即为一条“好线”.（1
我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连结OA,OC.再过点O作OE‖AC交CD于E,则直线AE即为一条“好线”.
（1）试说明直线AE是“好线”的理由.
（2）如下图,AE为一条“好线”,F为AD边上的一点,请作出经过F点的“好线”,并对画面作适当说明（不需要说明理由）

我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连结OA,OC.再过点O作OE‖AC交CD于E,则直线AE即为一条“好线”.（1
1,设AE与OC相交于M,因为O上BD的中点,所以三角形ABO与三角形ADO,三角形BOC与三角形DCO的面积相等（都是等底等高）所以四边形ABCO与四边形AOCD的面积相等,现在只要求三角形AMO与三角形CME的面积相等就可以了.因为AC平行OE,所以三角形AOE的面积=三角形CEO的面积（等底等高）,它们都减去三角形OME的面积得到.所以四边形ABCE与三角形AED的面积相等,
2,过O作AC的平行线交AD于F,连接CF,CF就是所求作的“好线”.

全部展开

分析：（1）设AE与OC的交点是F．要说明直线AE是“好线”，根据已知条件中的折线AOC能平分四边形ABCD的面积，只需说明三角形AOF的面积等于三角形CEF的面积．则根据两条平行线间的距离相等，结合三角形的面积个数可以证明三角形AOE的面积等于三角形COE的面积，再根据等式的性质即可证明；
（2）根据两条平行线间的距离相等，只需借助平行线即可作出过点F的“好线”．（1）
因为OE∥AC，
所以S△AOE=S△COE，
所以S△AOF=S△CEF，
又因为，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
所以直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．
（2）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．
∵AG∥EF，
∴S△AGE=S△AFG．
设AE与FG的交点是O．
则S△AOF=S△GOE，
又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．

收起

（1）

因为OE∥AC，

所以S△AOE=S△COE，

所以S△AOF=S△CEF，

又因为，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，

所以直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．

（2）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．

∵AG∥EF，

∴S△AGE=S△AFG．

设AE与FG的交点是O．

则S△AOF=S△GOE，

又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．

全部展开

（1）因为O为BD的中点，故三角形ABO与三角形ADO面积相等，三角形CBO与三角形CDO面积也相等，也就是说S（三角形ABO）+S(三角形CBO)=S(三角形ADO)+S(三角形CDO)
即四边形ABCO的面积与四边形ADCO的面积相等，于是我们要证明S(四边形ABCE)=S(三角形AED),只需证明S(三角形OAG)=S(三角形ECG)，其中G为AE与OC的交点。显然，因为OE‖AC，三角形OAC的高与三角形EAC,共底面，且高相等，即S(三角形OAC)=S(角形EAC),所以，(三角形OAG)=S(三角形ECG）。得证
（2）连接EF,过点A做直线平行于EF,交CD于G点，连接FG,则FG为一条好线，原理同上。

收起

方法有多种
不妨设四边形为ABCD
1.连接AC，BD
2.取BD的中点为O
3.过点O作AC的平行线，交BC于点F
4，连接AF
则AF就是所求的直线。

1,由于O为BD中点，所以OA平分△ABD的面积，OC平分△BCD的面积，所以折线AOC平分四边形ABCD的面积；∵OE‖AC，∴△AOC与△AEC等高，∴S△AOC＝S△AEC，所以四边形ABCO中的AOC可以等积移为AEC，这样，就得AE平分四边形ABCD的面积，为好线。
2，不妨就设AE交CD于点E，过点A作AG‖EF交DC于G，则△AED中的AEF可以等积移为GEF，所以，FG也是...

全部展开

收起