数学题目(分类:综合除法和余数定理)一个整系数三次多项式f(x),有三个不同的整数m,n,k,使f(m)=f(n)=f(k)=1.又设p为不同于m,n,k的任意整数,试证明:f(p)≠1.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 03:36:17
数学题目(分类:综合除法和余数定理)一个整系数三次多项式f(x),有三个不同的整数m,n,k,使f(m)=f(n)=f(k)=1.又设p为不同于m,n,k的任意整数,试证明:f(p)≠1.
数学题目(分类:综合除法和余数定理)
一个整系数三次多项式f(x),有三个不同的整数m,n,k,使
f(m)=f(n)=f(k)=1.
又设p为不同于m,n,k的任意整数,试证明:f(p)≠1.
数学题目(分类:综合除法和余数定理)一个整系数三次多项式f(x),有三个不同的整数m,n,k,使f(m)=f(n)=f(k)=1.又设p为不同于m,n,k的任意整数,试证明:f(p)≠1.
先进行个初步讨论:
f(x) 为 一个整系数三次多项式,则 f(x)= 1 为一个关于 x 的 一元三次方程.这里我们根据常识就知道 一元三次方程最多有几个解呢,三个,姑且认为就是条件中所说的 m ,n ,k .这样,我们就得到了解题的思路,用导数来解,证明这个一元三次方程不可能存在第四个解,即 不存在 f(p)= 1 .
证明:设 f(x)= a x^3 + b x^2 + c x + d (a ≠ 0).
令 F(x)=f(x)-1
对 F(x)求导,得 F'(x) =3a x^2 + 2b x + c (a ≠ 0),
这F'(x)是个一元二次多项式,令F'(x)=0,有且最多有2个解(其实在题设条件下已经有3个整数使f(x)= 1 成立了,这里就是F'(x)有2个解.),设为 k1,k2(k10时,F'(x)>0,F(x)单调递增②a
楼上同学说得太麻烦了
我们知道一元n次方程最多有n个根(包括重根)
那么根据题意f(x)为一个3次多项式,而且),有三个不同的整数m,n,k,使
f(m)=f(n)=f(k)=1。
那么方程F(x)=f(x)-1=0的根为m,n,k
所以不存在p为不同于m,n,k的任意整数,使得f(p)=1。...
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楼上同学说得太麻烦了
我们知道一元n次方程最多有n个根(包括重根)
那么根据题意f(x)为一个3次多项式,而且),有三个不同的整数m,n,k,使
f(m)=f(n)=f(k)=1。
那么方程F(x)=f(x)-1=0的根为m,n,k
所以不存在p为不同于m,n,k的任意整数,使得f(p)=1。
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