已知D是等边三角形ABC的BC边上一点,把三角形ABC向下折叠,折痕为MN,使A点落在D点处,若BD:DC=2:3,则AM:AN=角A=角MDC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 06:39:42
已知D是等边三角形ABC的BC边上一点,把三角形ABC向下折叠,折痕为MN,使A点落在D点处,若BD:DC=2:3,则AM:AN=角A=角MDC
已知D是等边三角形ABC的BC边上一点,把三角形ABC向下折叠,折痕为MN,使A点落在D点处,若BD:DC=2:3,则AM:AN=
角A=角MDC
已知D是等边三角形ABC的BC边上一点,把三角形ABC向下折叠,折痕为MN,使A点落在D点处,若BD:DC=2:3,则AM:AN=角A=角MDC
设等边三角形边长为5,则BD=2,DC=3,连接MD,ND,因为MN垂直平分AD,所以AM=MD,AN=ND,
设AM=x,在三角形BMD中应用余弦定理,得方程
x^2=4+(5-x)^2-8(5-x)cos60
解得x=3/2
同理设AN=y,在三角形CND中用余弦定理,可求出y=19/7
所以AM:AN=3/2:19/7=21:38
这种题可以用典型来证明一般理论,即:
假设AD⊥BC,那么MN‖BC
根据三角形投影定理,可知:AM:AN=2:3
设BD=2t,DC=3t,则AB=BC=CA=5t
令AN=x,AM=y,则BN=5t-x,CM=5t-y
因为 三角形ABC向下折叠
所以 三角形AMN全等三角形DMN
所以 ND=AN=x,DM=AM=y
又 等边三角形ABC
所以 角B=角C=60°
由余弦定理可知
cosB=BN^2+BD^2-ND^2/2*BN*BD
全部展开
设BD=2t,DC=3t,则AB=BC=CA=5t
令AN=x,AM=y,则BN=5t-x,CM=5t-y
因为 三角形ABC向下折叠
所以 三角形AMN全等三角形DMN
所以 ND=AN=x,DM=AM=y
又 等边三角形ABC
所以 角B=角C=60°
由余弦定理可知
cosB=BN^2+BD^2-ND^2/2*BN*BD
既 cos60°=(5t-x)^2+(2t)^2-x^2/2*(5t-x)*2t
可得 x=19t/8
同理可得 y=19t/7
所以 AM/AN=y/x=8/7
收起
首先连接MD和ND
由已知可得四边形AMDN是菱形,
所以AM=MD AN=DN
DN//AB DM//AC MN//BC
所
BD/DC=MB/ND=MD/NC=2/3
AM/AN=MB/NC=BD/DC=2/3