一道高数题.求微分方程的通解(1) y''=1+(y')^2(2) xy''+y'=0

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/16 06:36:37

一道高数题.求微分方程的通解(1) y''=1+(y')^2(2) xy''+y'=0
一道高数题.求微分方程的通解
(1) y''=1+(y')^2
(2) xy''+y'=0

一道高数题.求微分方程的通解(1) y''=1+(y')^2(2) xy''+y'=0
(1) y''=1+(y')^2
令 y'=p y''=dp/dx
dp/dx=1+p^2
dp/1+p^2 =dx
两边积分得 arctanp=x
p=tan(x+c1)
∴y=∫ tan(x+c1)dx
=-ln|cos(x+c1)|+c2
(2) xy''+y'=0
令 y'=p y''=dp/dx
xdp/dx+p=0
dp/p=-dx/x
两边积分得 p=c1x^-1
∴y=c1ln|x|+c2

解答:
（1）令 y'=p，则原式变为：p’=1+p² 即 dp/（1+p²）=dx
所以p=tan（x+c1），所以通解为y=∫ tan(x+c1)= -ln|cos(x+c1)|+c2;
(2)与（1）解法相同，设 y'=p，则原式变为：p‘= -p/x ，即dp/p= - dx/x，则ln| p |=-ln| x |+c1
通解y=∫ p,不赘述。

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