△ABC的三边均为整数,且面积也是整数,BC长为21,周长为48,求它的最短边.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 12:23:27
△ABC的三边均为整数,且面积也是整数,BC长为21,周长为48,求它的最短边.
△ABC的三边均为整数,且面积也是整数,BC长为21,周长为48,求它的最短边.
△ABC的三边均为整数,且面积也是整数,BC长为21,周长为48,求它的最短边.
用枚举法得知:BC最长边为21时,其它两边之和为27,则最短边在7到13之间产生
三角形知道三边求面积的公式为:S= √[p(p - a)(p - b)(p - c)] ,其中P=半周长
设BC为a,S= √[24*3*(24 - b)*(24 -( 27-b))] = √[72*(24 - b)*(b-3)]
用枚举法同样得知:将b用7到13之间的数代入,因为面积是整数,只有b=10的时候以才能满足以下条件:
ABC的三边均为整数,且面积也是整数,BC长为21,周长为48
设最短边AC=x,AB=48-21-x=27-x,
△ABC面积S=(1/2)×21×(27-x)sinB
当B=30°时,sinB=1/2,
∴S=21(27-x)/4.
x=3时,AB=27-3=24,
由AB=AC+BC(舍去)
取x=7最短。
这是考的一个椭圆的问题,AB+AC=27是一个定值要想面积为整数必须是A点到BC边的距离为偶数。且AB和AC都为整数,然而当AB垂直于AC时最少也是13,令A到BC边的距离为Z,可以列出以下算式,X+Y=26,√X2-Z2+√Y2-Z2=21求Z的最小值就行了
设AC对边为b;AB边为c,BC为21,则根据余弦定理有
BC^2=b^2+c^2-2bc*cosA
441+2bc=(b+c)^2-2bc*cosA 代入b+c=48-21=27后整理:
144-bc=bc*cosA (1)
设该三角形面积为S,则有
2S=bc*sinA (2...
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设AC对边为b;AB边为c,BC为21,则根据余弦定理有
BC^2=b^2+c^2-2bc*cosA
441+2bc=(b+c)^2-2bc*cosA 代入b+c=48-21=27后整理:
144-bc=bc*cosA (1)
设该三角形面积为S,则有
2S=bc*sinA (2)
(1) 、(2)式平方相加:
4S^2+(144-bc)^2=(bc)^2
4S^2+20736-288bc=0
整理后得:
bc=72+(S^2)/72
故b、c为方程
x^2-27x+72+(S^2)/72=0 的两根
该方程解为
x1={27+√{729-4*[72+(S^2)/72]}}/2=27/2+√[441-(S^2)/18]/2
x2={27-√{729-4*[72+(S^2)/72]}}/2=27/2-√[441-4(S^2)/18]/2
因边长为整数,且S也为整数,故必有√[441-(S^2)/18]为整数,
即441-(S^2)/18是个完全平方数
于是,S中必然含有因素2和3,设S=6t,则(S^2)/18=2t^2,且由441-2t^2≥0,有t<15
于是有 x1=27/2+√[441-2t^2]/2
x2=27/2-√[441-2t^2]/2
将t从1到14依次代入检验,唯有t=14时,441-2t^2=49,为完全平方数,故有
x1=27/2+7/2=17
x2=27/2-7/2=10
故三角形三边分别为:21;17;10
最短边为:10
收起
a^2+b^2=21*21=441勾股定理
a+b=48-21=27
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=27*27=729
ab=(729-441)/2=144
a(27-a)=144
解出来小的那个就是了