对于x∈[0,1],不等式1/√1+x≤1-kx恒成立,则k的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 14:42:45

对于x∈[0,1],不等式1/√1+x≤1-kx恒成立,则k的取值范围
对于x∈[0,1],不等式1/√1+x≤1-kx恒成立,则k的取值范围

对于x∈[0,1],不等式1/√1+x≤1-kx恒成立,则k的取值范围
记 t^2=x+1 ∴t∈[1,√2] x=t^2-1
因此 原不等式化为 1/t≤1-k(t^2-1)
(1) 当t=1时,1≤1,k取任意值
(2) 当t≠1时,原不等式化为 (t^2-1)k≤1-1/t
即 k≤1/t-1/(t+1) 即求右边min
右边min为 1-√2/2
综上 k∈[-∞,1-√2/2]

不等式两端平方 得1/(1+x)《=(1-kx)^2
移项 1<=(1+x)(1-kx)^2
展开整理有k^2x^3+(k^2-2k)x^2+(1-2k)x>=0
由于x∈[0,1],消掉一个x 有k^2x^2+(k^2-2k)x+(1-2k)>=0
k不等于0时为二次函数 开口向上 判别式<0 得到-4k等于0时 恒成立
综上-4

全部展开

不等式两端平方 得1/(1+x)《=(1-kx)^2
移项 1<=(1+x)(1-kx)^2
展开整理有k^2x^3+(k^2-2k)x^2+(1-2k)x>=0
由于x∈[0,1],消掉一个x 有k^2x^2+(k^2-2k)x+(1-2k)>=0
k不等于0时为二次函数 开口向上 判别式<0 得到-4k等于0时 恒成立
综上-4希望你能满意 呵呵

收起

令x=0,1/√(1+x) ≤ 1-kx ==> 1/√(1+0) ≤ 1-k*0 ==> 0*k ≥ 0 ==> k∈R
令x=1,1/√(1+x) ≤ 1-kx ==> 1/√(1+1) ≤ 1-k*1 ==> 1/√2 ≤ 1-k ==> k ≤ 1-√2/2
综上,k的取值范围是k ≤ 1-√2/2