作业帮因式分解 (8 13:37:18)设a.b为实数,试求a2+ab+b2-a-2b的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 05:13:42
因式分解 (8 13:37:18)设a.b为实数,试求a2+ab+b2-a-2b的最小值
因式分解 (8 13:37:18)
设a.b为实数,试求a2+ab+b2-a-2b的最小值
因式分解 (8 13:37:18)设a.b为实数,试求a2+ab+b2-a-2b的最小值
设2元函数 f(a,b) = a^2 + ab + b^2 - a - 2b
令
f'_a = 2a + b - 1 = 0
f'_b = a + 2b - 2 = 0
得 a = 0, b = 1.
又,
f''_a_a = 2
f''_a_b = 1
f''_b_b = 2
f''_a_a * f''_b_b - (f''_a_b)^2 = 3 > 0.
所以,
2元函数 f(a,b) = a^2 + ab + b^2 - a - 2b
在a = 0, b = 1时达到最小值f(0,1)= -1.
如果不能用偏导数的知识.
可以配方.
a^2 + ab + b^2 - a - 2b
= (a + b/2)^2 + (3/4)b^2 - (a + b/2) - 3b/2
= (a + b/2 - 1/2)^2 - 1/4 + (3/4)[(b - 1)^2 - 1]
= (a + b/2 - 1/2)^2 + (3/4)[(b - 1)^2] - 1
>= -1
所以,最小值是 -1.
而且,在 a + b/2 = 1/2, b = 1时达到最小值.
也就是在 a = 0, b = 1时达到最小值-1.
a^2+ab+b^2-a-2b
=a^2+a(b-1)+(b-1)^2-1
=(3/4)a^2+[(1/2)a+b-1]^2-1,
当(3/4)a^2=[(1/2)a+b-1]^2=0时，
a^2+ab+b^2-a-2b取最小值-1，
即当a=0，b=1时，
a^2+ab+b^2-a-2b取最小值-1。
将原式对a求导（也可以对b求导，结果相同），得2a+b-1
令2a+b-1=0，于是b=1-2a，将该式代入原式，化简得：3a^2-1,该函数当a=0时取得极小值，同时也是最小值-1，此时b=1；即当a=0，b=1时原式取得最小值-1
-1
设:S=a2+ab+b2-a-2b
则2S=2a2+2ab+2b2-2a-4b
2S= a2+2ab+b2+ a2 -2a+ b2-4b
2S=(a+b)2+( a2 -2a+1) + (b2-4b+4)-5
2S=(a+b)2+(a-1)2+(b-2)2-5
S=(a+b)2/2+(a-1)2/2+(b-2)2/2-5/2
因为(a+b)2/2+(a-1)2/2+(b-2)2/2的最小值是0所以S的最小值是-5/2