如何证明y=sin(x2)不是周期函数…

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 10:02:46

如何证明y=sin(x2)不是周期函数…
如何证明y=sin(x2)不是周期函数…

如何证明y=sin(x2)不是周期函数…
证明：
用反证法
假设y=sin(x^2)是周期函数,且周期为T（T≠0）
则sin(x^2)=sin[(x+T)^2]=sin[(x-T)^2]
即：sin(x^2+2Tx+T^2)=sin(x^2-2Tx+T^2)
sin(x^2+T^2)cos(2Tx)+cos(x^2+T^2)sin(2Tx)=sin(x^2+T^2)cos(2Tx)-cos(x^2+T^2)sin(2Tx)
∴ cos(x^2+T^2)sin(2Tx)=0
∴ 但上式只有当T=0时才满足当x取任意值时恒成立
矛盾
所以y=sin(x^2)不是周期函数

因为定义域是（0，正无穷）

f(X)=sinx^2是非周期函数

【证明】

若f(X)=sinx^2是周期函数，

则存在T（＞0），使对任意实数x，都有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT^2=sin0=0，

∴T^2=Kπ（K∈Z），

又取X=√2T有sin(√2T+T)^2=sin（2T^2）=sin2kπ=0，

所以(√2T+T)^2= Lπ(L∈Z)，

∴(√2+1)2^ *T^2= Lπ(L∈Z)，∵T^2=Kπ

∴(√2+1)2^* Kπ= Lπ(K∈Z， L∈Z)，

即(3+2√2) K= L(K∈Z， L∈Z)，

等式左边是无理数，右边是整数，不可能相等，

出现矛盾，

∴假设不成立，f(X)=sinx^2是非周期函数。

y = sinx²是偶函数，图像如下图：

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