怎么推导指数函数的导数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 22:49:07

怎么推导指数函数的导数
怎么推导指数函数的导数

怎么推导指数函数的导数
设:指数函数为:y=a^x
y'=lim【△x→0】[a^(x+△x)-a^x]/△x
y'=lim【△x→0】{(a^x)[(a^(△x)]-a^x}/△x
y'=lim【△x→0】(a^x){[(a^(△x)]-1}/△x
y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x…………(1)
设:[(a^(△x)]-1=M
则:△x=log【a】(M+1)
因此,有:‘
{[(a^(△x)]-1}/△x
=M/log【a】(M+1)
=1/log【a】[(M+1)^(1/M)]
当△x→0时,有M→0
故:
lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x
=lim【M→0】1/log【a】[(M+1)^(1/M)]
=1/log【a】e
=lna
代入(1),有:
y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x
y'=(a^x)lna
证毕.