已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx(是锐角),且双曲线上一动点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinx,求x的变化范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 09:36:44
已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx(是锐角),且双曲线上一动点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinx,求x的变化范围.
已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx(是锐角),且双曲线上一动点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinx,求x的变化范围.
已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx(是锐角),且双曲线上一动点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinx,求x的变化范围.
【1】可设双曲线方程为:(y²/a²)-(x ²/b ²)=1.(a,b>0).
∴y ²=(a ²/b ²)x ²+a ².
由“两点间距离公式”可得:
|PM| ²=(x-1) ²+y ²
=(c ²/b ²)x ²-2x+a ²+1
=(c ²/b ²)[x-(b ²/c ²)]²+[a ²(c ²+1)/c ²] ≥a ²(c ²+1)/c ².
等号仅当x=b ²/c ²时取得.∴|PM|min=(a/c) √(c ²+1).
由题设可知,a=sint,|PM|min=1/sint..
∴(a/c) √(c ²+1)=1/a.即:a ²=c/√(1+c ²).
【2】易知,a ²<c ².∴c√(1+c ²) >1.
∴[c ²+(1/2)] ²>5/4.
∴c ²>(√5-1)/2.
∴0<1/c ²<(1+√5)/2.
∴1<√[1+1/c ²] <(√5+1)/2.
即1<1/a ²<(√5+1)/2.
∴-1<1-2a ²<2-√5.
∵a=sint.∴-1<cos2t<2-√5.
∴√5-2<cos(π-2t) <1.
∵0<t<π/2.∴0<π-2t<π.
∴0<π-2t<arccos(√5-2).
∴[π-arccos(√5-2)]/2<t<π/2.