设F施抛物线G:x^2=4y的焦点(1)过点P(0,-4)作抛物线的切线,求切线的方程(2)设A,B为抛物线G上异于原点的两点,且满足向量FA×向量FB=0,延长AF,BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/30 19:25:58
设F施抛物线G:x^2=4y的焦点(1)过点P(0,-4)作抛物线的切线,求切线的方程(2)设A,B为抛物线G上异于原点的两点,且满足向量FA×向量FB=0,延长AF,BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最
设F施抛物线G:x^2=4y的焦点
(1)过点P(0,-4)作抛物线的切线,求切线的方程
(2)设A,B为抛物线G上异于原点的两点,且满足向量FA×向量FB=0,延长AF,BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最小值
设F施抛物线G:x^2=4y的焦点(1)过点P(0,-4)作抛物线的切线,求切线的方程(2)设A,B为抛物线G上异于原点的两点,且满足向量FA×向量FB=0,延长AF,BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最
(1)如图可用判别式或导数求解
法一:设切线L:y+4=kx{直线方程:点斜式}
联立y+4=kx与x^2=4y,消去y,
x^2-4kx+16=0(1)
由L与抛物线相切知:(1)有且仅有一实根{曲线交点与方程组的解}
判别式=16k^2-64=0
所以k=2或-2
切线方程:2x-y-4=0或2x+y+4=0
法二:设切点为M(x,y)
斜率k(MP)=(y+4)/x
而由导数的几何意义:k(MP)=y'=x/2{二次函数求导}
于是:x/2=(y+4)/x(1)
而M(x,y)在抛物线上,于是:x^2=4y(2)
由(1)(2)得:x=4,y=4或x=-4,y=4
即M(4,4),(-4,4)
再由两点式即得直线方程
(2)如图http://hiphotos.baidu.com/%BA%D3%CE%F7%CF%C8%C9%FA/pic/item/815c6b11e647173fcb80c421.jpgF(0,1)关键就是引入变量(斜率k),用k表示面积,设A(xA,yA),C(xC,yC)
设AC的斜率为k,由AC⊥BD,则的斜率为-1/k
S=1/2(AC*BF+AC*DF)=1/2*AC*BD
AC:y-1=kx{直线方程:点斜式}
联立:y-1=kx与x^2=4y,消去y,
x^2-4kx-4=0
由韦达定理:xA+xC=4k,xA*xC=-4
从而AC=[√(1+k^2)]*|xA-xC|
=[√(1+k^2)]*√[(xA+xC)^2-4xA*xC]
=[√(1+k^2)]*√(16k^2+16)
=4(1+k^2)(弦长公式)
同样的,BD=4(1+1/k^2){就用-1/k换掉k即可}
于是S=1/2*AC*BD=8(2+k^2+1/k^2)≥8*4=32{均值不等式}
当k=1,-1时取等