lim(x趋于π/2)(tanx/tan3x)求极限 详细过程

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 13:52:13

lim(x趋于π/2)(tanx/tan3x)求极限 详细过程
lim(x趋于π/2)(tanx/tan3x)求极限 详细过程

lim(x趋于π/2)(tanx/tan3x)求极限 详细过程
原有的两个解法都不够简洁.
直截了当地用 tanx=sinx/cosx 同角基本关系式不是很容易想到的嘛!
原式马上改为:求 (sinx/cosx )/(sin3x/cos3x ) (先处理正弦,将π/2 代入)
即简化为求:当 x➔π/2 时 cos3x /cosx 的极限,
下面用上下同时求导.

原式=lim(tanx/(tanx+tan2x/(1-tanx*tan2x)))=lim(1-2tanx^2/(1-tanx^2)/1+2/(1-tan^2))
=lim(1-3tanx^2)/(3-tanx^2)=3

x➔π/2lim(tanx/tan3x)=x➔π/2lim[sec²x/(3sec²3x)]=x➔π/2lim[cos²3x/(3cos²x)]
=x➔π/2lim[-6(cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x➔π/2lim(-3sin²3x+3cos²3x)/(-sin²x+cos²x)=3