帮忙解决下这个高数题已知b>a>e 求证 a的b次方>b的a次方

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 16:44:15

帮忙解决下这个高数题已知b>a>e 求证 a的b次方>b的a次方
帮忙解决下这个高数题
已知b>a>e 求证 a的b次方>b的a次方

帮忙解决下这个高数题已知b>a>e 求证 a的b次方>b的a次方
分析:
要证a^b>b^a,b>a>e
两边取ln对数即证blna>alnb,b>a>e
整理即证[lna]/a>[lnb]/b,b>a>e
考察函数f(x)=[lnx]/x,【只需证明该函数在x>e上为减函数即可】
求导f'(x)=(1-lnx)/x²,令f'(x)=0得唯一驻点x=e,显然x>e有f'(x)e上单调递减
则f(a)>f(b),b>a>e
即[lna]/a>[lnb]/b,b>a>e
还原即得证.

我用了很初等的方法,没半点高数的影子。
要证明a^b>b^a,
就要证明blna>alnb,
因b>a>e ,
即证明b/a>lna/lnb,
又因b>a>e,得b/a>1,lna/lnb<1
故b/a>lna/lnb成立
由于以上步骤皆可逆,故a^b>b^a成立。