问一道数学题（关于导数的）已知函数f(x)=ax^4lnx+bx^4-c (x＞0),在x=1处取极值-3-c.其中a,b,c是常数,（1） 试确定a,b的值（2） 讨论f(x)的单调区间（3） 若对任意的x＞0,不等式f(x)≥-2c²恒成立,求c

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 11:53:30

问一道数学题（关于导数的）已知函数f(x)=ax^4lnx+bx^4-c (x＞0),在x=1处取极值-3-c.其中a,b,c是常数,（1） 试确定a,b的值（2） 讨论f(x)的单调区间（3） 若对任意的x＞0,不等式f(x)≥-2c²恒成立,求c
问一道数学题（关于导数的）
已知函数f(x)=ax^4lnx+bx^4-c (x＞0),在x=1处取极值-3-c.其中a,b,c是常数,
（1） 试确定a,b的值
（2） 讨论f(x)的单调区间
（3） 若对任意的x＞0,不等式f(x)≥-2c²恒成立,求c 的取值范围

问一道数学题（关于导数的）已知函数f(x)=ax^4lnx+bx^4-c (x＞0),在x=1处取极值-3-c.其中a,b,c是常数,（1） 试确定a,b的值（2） 讨论f(x)的单调区间（3） 若对任意的x＞0,不等式f(x)≥-2c²恒成立,求c
(1)
f(x) = ax^4lnx+bx^4-c
f'(x) = 3ax^3lnx+ax^3+4bx^3
f'(1) = a+4b = 0
=> a = -4b
f(1) = b-c = -3-c
=> b=-3
a = 12
(2)
f(x) = 12x^4lnx-3x^4- c
f'(x) = 36x^3lnx
x∈(0,1),f'(x)

f(x)=ax^4lnx+bx^4-c，则：
f'(x)=ax^3+4ax^3lnx+4bx^3，
在x=1处取极值-3-c，则：
f'(1)=a+4b=0，
f(1)=b-c=-3-c，
所以b=-3，a=12。
因为b=-3，a=12，
所以f'(x)=48x^3lnx。 (x>0)
0

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f(x)=ax^4lnx+bx^4-c，则：
f'(x)=ax^3+4ax^3lnx+4bx^3，
在x=1处取极值-3-c，则：
f'(1)=a+4b=0，
f(1)=b-c=-3-c，
所以b=-3，a=12。
因为b=-3，a=12，
所以f'(x)=48x^3lnx。 (x>0)
0x>1时， lnx>0，则： f'(x)>0。
故f(x)在(0，1)单调递减，在(1，+无穷)单调递增。
b=-3，a=12时，
f(x)=12x^4lnx-3x^4-c，
f(x)在x=1处取得最小值：-3-c。
所以f(x)>=-3-c，
由f(x)>=-2c²，得：
-3-c>=-2c²，
(c+1)(2c-3)>=0，
c<=-1, c>=3/2。
即为所求c 的取值范围。

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f(x)=ax^4lnx+bx^4-c，则
f'(x)=ax^3+4ax^3lnx+4bx^3，
在x=1处取极值-3-c，则
f'(1)=a+4b=0，
f(1)=b-c=-3-c，
所以b=-3，a=12。
因为b=-3，a=12
所以f'(x)=48x^3lnx。 (x>0)
0

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f(x)=ax^4lnx+bx^4-c，则
f'(x)=ax^3+4ax^3lnx+4bx^3，
在x=1处取极值-3-c，则
f'(1)=a+4b=0，
f(1)=b-c=-3-c，
所以b=-3，a=12。
因为b=-3，a=12
所以f'(x)=48x^3lnx。 (x>0)
0x>1时， lnx>0，则： f'(x)>0
故f(x)在(0，1)单调递减，在(1，+无穷)单调递增
b=-3，a=12时
f(x)=12x^4lnx-3x^4-c
f(x)在x=1处取得最小值：-3-c
所以f(x)>=-3-c，
由f(x)>=-2c²，得：
-3-c>=-2c²，
(c+1)(2c-3)>=0，
c<=-1, c>=3/2。
即为所求c 的取值范围

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