证明完全平方数除以8的余数只可能是0,1,4这三种可能,并用这个结论证明满足等式：a^2+b^2=c^2的正整数a、b、c必有一个是4的倍数.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/13 23:48:37

证明完全平方数除以8的余数只可能是0,1,4这三种可能,并用这个结论证明满足等式：a^2+b^2=c^2的正整数a、b、c必有一个是4的倍数.
证明完全平方数除以8的余数只可能是0,1,4这三种可能,并用这个结论证明满足等式：a^2+b^2=c^2的正整数a、b、c必有一个是4的倍数.

证明完全平方数除以8的余数只可能是0,1,4这三种可能,并用这个结论证明满足等式：a^2+b^2=c^2的正整数a、b、c必有一个是4的倍数.
要使得完全平方数÷8,那么得将所有整数分为4类.（因为4的平方才能构造出8的倍数）
铺垫一下剩余类.
所有整数可以由一个数的剩余类来划分.
例如：9可以分为9个剩余类：9-{0}、9-{1}、9-{2}、9-{3}、9-{4}、9-{5}、9-{6}、9-{7}、9-{8}.
听起来似乎是新概念,实际上就是每个数除以9都有余数,按照余数将它们划分.
（整除默认余数为0）
也就是说,所有整数按照剩余类划分为：
4n+1、4n+2、4n+3、4n
（1）（4n+1）^2=16n^2+8n+1,这个代数式÷8余1
（2）（4n+2）^2=16n^2+16n+4,这个代数式÷8余4
（3）（4n+3）^2=16n^2+24n+9,这个代数式÷8余1
（4）4n^2=16n^2,这个代数式÷8余0
第一问证明完毕!
既然第一问已经有余数结论了,对于a^2+b^2=c^2,使用同余来解方程.
反证：
假若a、b、c三个数中均没有4的倍数,
那么a^2、b^2、c^2这三个数÷8的余数只能为1或者4,
而1+1、1+4、4+4这三种情况÷8的余数都不为或者1、4,于是c^2无法存在!
（实际上,假若允许4的倍数存在与a、b、c中,以下式子成立：1+0≡1以及4+4≡0,模都是8）
第二问证毕.

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