三角形ABC,CD是AB边上的中线,角B是角A的三倍,角CDB为45°,求证ABC为直角三角形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/28 23:10:35
三角形ABC,CD是AB边上的中线,角B是角A的三倍,角CDB为45°,求证ABC为直角三角形
三角形ABC,CD是AB边上的中线,角B是角A的三倍,角CDB为45°,求证ABC为直角三角形
三角形ABC,CD是AB边上的中线,角B是角A的三倍,角CDB为45°,求证ABC为直角三角形
我们初三也在做哈.
1)我的解法:过D作DE⊥AB交AC于E,联结BE设∠A=X,则∠B=3X
∵BD=AD,DE⊥AB (中垂线定理)∴BE=AE ∴∠EBA=∠A=X ∴∠EBC=3X-X=2X
∵∠CEB=∠EBA+∠A=X+X=2X(外角) ∴∠EBC=∠CEB ∴BC=CE
再过C作CF⊥DE于F,CH⊥AB于H
四边形CFDH中有3个90°了,再加一个对角线和一边夹角是45°(∠CDB),
易证四边形CFDH是正方形,于是BC=EC,CH=CF,∠CHB=∠CFE=90°△CHB≌△CFE(H.L)
∴∠BCH=∠ECF ∵∠ECF+∠HCE=90° ∴∠BCH+∠HCE=90°∴原命题成立
2)我同学的解法:·过D作DE⊥AB交AC于E,联结BE设∠A=X,则∠B=3X
∵BD=AD,DE⊥AB (中垂线定理)∴BE=AE ∴∠EBA=∠A=X ∴∠EBC=3X-X=2X
∵∠CEB=∠EBA+∠A=X+X=2X(外角) ∴∠EBC=∠CEB ∴BC=CE ·(开始都一样)
*(开始不同了)在DA延长线上截取DP=BD,联结CP ∵BD=PD,∠CDB=∠CDP=45°,CD=CD
∴△CDB≌△CDP(S.A.S)∴∠CPD=∠CBD=3X,CB=CP ∵CB=CE ∴CP=CE
∴∠CEP=∠CPD=3X=∠AED(对顶角相等,这步很关键)
∵∠AED=180°-∠A-∠EDA=90°-X ∴∠AED=3X=90°-X 解得X=22.5°
∠BCA=180°-4X=90°
3)百度网友的解法(最变态)
过C作CG⊥AB于G,易证△CDG是等腰直角,设GC=GD=x,设BD=AD=1
tanA=x/1+x tanB=tan(3A)=x/1-x 有个玩意叫三倍角公式.网上查一下吧
总之解得x=1/√2,CD=1=AD=BD 易证∠BCA=90°
打字打得这么辛苦一定要给分啊.