作业帮高二不等式证明（1）已知a,b,c,是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)（2）已知a不等于b,求证a^4+6a^2*b^2+b^4>4ab(a^2+b^2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 04:52:40
高二不等式证明（1）已知a,b,c,是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)（2）已知a不等于b,求证a^4+6a^2*b^2+b^4>4ab(a^2+b^2)
高二不等式证明
（1）已知a,b,c,是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)
（2）已知a不等于b,求证a^4+6a^2*b^2+b^4>4ab(a^2+b^2)
高二不等式证明（1）已知a,b,c,是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)（2）已知a不等于b,求证a^4+6a^2*b^2+b^4>4ab(a^2+b^2)
（1）
令a≥b≥c＞0
则a/b≥1,(a/b)^a≥(a/b)^b,∴a^a * b^b ≥ a^b*b^b.（1）
同理：
b^b * c^c≥b^c * c^b .（2）
a^a * c^c≥a^c * c^a .（3）
三式相乘得：
a^(2a) * b^(2b) * c^(2c) ≥a^(b+c) * b^(c+a) * c^(a+b)
（2）
a≠b
∵【a^4+6a^2*b^2+b^4】-【4ab(a^2+b^2)】
= a^4 + 6a^2*b^2 + b^4 - 4ab(a^2+b^2)
= a^4 + 2a^2*b^2 + b^4 + 4a^2*b^2 - 4ab(a^2+b^2)
= (a^2+b^2)^2 - 4ab(a^2+b^2) + 4a^2*b^2
= (a^2+b^2-2ab)^2
= (a-b)^4＞0
∴【a^4+6a^2*b^2+b^4】＞【4ab(a^2+b^2)】
(1)由a，b，c是正数知，若a≥b，则a-b≥0，a/b≥1，所以，(a/b)^(a-b)≥1，
若a
故总有(a/b)^(a-b)≥1，
同理，(b/c)^(b-c)≥1，(c/a)^(c-a)≥1，
从而[(a/b)^(a-b)]•[(b/c)^(b-c)]•[(c/...
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(1)由a，b，c是正数知，若a≥b，则a-b≥0，a/b≥1，所以，(a/b)^(a-b)≥1，
若a
故总有(a/b)^(a-b)≥1，
同理，(b/c)^(b-c)≥1，(c/a)^(c-a)≥1，
从而[(a/b)^(a-b)]•[(b/c)^(b-c)]•[(c/a)^(c-a)]≥1，
即a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)。
(2)变形可得，左边-右边=(a-b)^4>0，从而得原不等式。
收起
（1）：因为a，b，c是正数，只要将两边化成对数lg即可。
（2）：因为左边—右边等于（a-b)^4恒大于0，所以不等式得证