高数:计算∫∫xyzdxdy,其中∑为球面x²+y²+z²=1的外侧 x≥0,y≥0求之后极坐标求出具体数值步骤2∫∫xy√1-x²-y²dxdy 之后用极坐标的步骤

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 00:02:55

高数:计算∫∫xyzdxdy,其中∑为球面x²+y²+z²=1的外侧 x≥0,y≥0求之后极坐标求出具体数值步骤2∫∫xy√1-x²-y²dxdy 之后用极坐标的步骤
高数:计算∫∫xyzdxdy,其中∑为球面x²+y²+z²=1的外侧 x≥0,y≥0
求之后极坐标求出具体数值步骤
2∫∫xy√1-x²-y²dxdy 之后用极坐标的步骤

高数:计算∫∫xyzdxdy,其中∑为球面x²+y²+z²=1的外侧 x≥0,y≥0求之后极坐标求出具体数值步骤2∫∫xy√1-x²-y²dxdy 之后用极坐标的步骤
被积曲面关于xOy对称,被积函数关于z是奇函数,根据第二类曲面积分的对称性原理
原式=2∫∫xy√1-x²-y²dxdy (其中,被积区域为x²+y²=1,x,y≥0)
原式=2∫[0->π/2]∫[0->1]r³√1-r²drdθ=(π/2)∫[0->1]r²√1-r²dr²
=(π/2)[∫[0->1]√1-r²dr²-∫[0->1](1-r²)√1-r²dr²]
=(π/2)[(-2/3)(1-r²)^(3/2) | [0->1] - (-2/5)(1-r²)^(5/2) | [0->1] ]
=2π/15