设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>-1,求f(x)的单调区间a为什么要分类讨论?希望可以从求导方面解答~
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 01:01:40
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>-1,求f(x)的单调区间a为什么要分类讨论?希望可以从求导方面解答~
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>-1,求f(x)的单调区间
a为什么要分类讨论?
希望可以从求导方面解答~
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>-1,求f(x)的单调区间a为什么要分类讨论?希望可以从求导方面解答~
因为a>-1,所以(a+1)>0,又ln(x+1)是增函数,所以(a+1)ln(x+1)也是增函数
那么-(a+1)ln(x+1)是减函数,
根据复合函数判断单调性的口诀“同增异减”
那么
若(1)a>0 则ax为是增函数,那么f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)为减函数
(2)-1
(1)f′(x)=a-a+1 x+1 =ax-1 x+1 (x>-1),…(1分)
当a=0时,f′(x)=-1 x+1 <0,所以函数f(x)的减区间为(-1,+∞),无增区间;
当a≠0时,f′(x)=a(x-1 a ) x+1 ,
若a>0,由f′(x)>0得x>1 a ,由f′(x)<0得-1<x<1 a ,
所以函数f(x)的减区间为(-1,1 a ),增...
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(1)f′(x)=a-a+1 x+1 =ax-1 x+1 (x>-1),…(1分)
当a=0时,f′(x)=-1 x+1 <0,所以函数f(x)的减区间为(-1,+∞),无增区间;
当a≠0时,f′(x)=a(x-1 a ) x+1 ,
若a>0,由f′(x)>0得x>1 a ,由f′(x)<0得-1<x<1 a ,
所以函数f(x)的减区间为(-1,1 a ),增区间为(1 a ,+∞),;
若-1<a<0,此时1 a ≤-1,所以f′(x)=a(x-1 a ) x+1 <0,
所以函数f(x)的减区间为(-1,+∞),无增区间;
综上,当-1<a≤0时,函数f(x)的减区间为(-1,+∞),无增区间,
当a>0时,函数f(x)的减区间为(-1,1 a ),增区间为(1 a ,+∞),.…(6分)
(2)由(Ⅰ)得,g(a)=f(1 a )=1-(a+1)ln(1 a +1),…(7分)
因为a>0,所以g(a)<t⇔g(a) a -t a <0⇔1 a -(1+1 a )ln(1+1 a ) -t a <0,
令h(x)=x-(1+x)ln(1+x)-tx,(x>0),则h(x)<0恒成立,
由于h′(x)=-ln(1+x)-t,
当t≥0时,h′(x)<0,故函数h(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以h(x)<h(0)=0成立;…(10分)
当t<0时,若h′(x)>0,得0<x<e-t-1,
故函数h(x)在(0,e-t-1)上是增函数,
即对0<x<e-t-1,h(x)>h(0)=0,与题意不符;
综上,t≥0为所求.…(12分)
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