如图,AB为圆O的直径,CD为一动弦,CD交AB于E,且角AEC=45度,求证CE的平方加ED的平方为定值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 00:45:37
如图,AB为圆O的直径,CD为一动弦,CD交AB于E,且角AEC=45度,求证CE的平方加ED的平方为定值
如图,AB为圆O的直径,CD为一动弦,CD交AB于E,且角AEC=45度,求证CE的平方加ED的平方为定值
如图,AB为圆O的直径,CD为一动弦,CD交AB于E,且角AEC=45度,求证CE的平方加ED的平方为定值
如图取坐标系,CD方程:y=x-c. 圆方程 x²+y²=r².C(x1,y1),D(x2,y2).
E(c.0).容易计算,x1=[c+√(2r²-c²)]/2. x2=[c-√(2r²-c²)]/2.
y1=[-c+√(2r²-c²)]/2. y2=[-c-√(2r²-c²)]/2.
CE²+ED²=2{[-c+√(2r²-c²)]/2}²+2{[-c-√(2r²-c²)]/2}²=2r².
(这是与E点在AB上的位置无关的常数.)
又一证明:作CD关于AB的对称直线FG.∵∠AEC=45°.
∴∠AEF=45°.CD⊥FG.CG²=CE²+ED².
⊿OCD≌⊿OGF(S,S,S).∠OCD=∠OGF.O,C,G,E四点共圆.
∴∠COG=∠CEG=90°.CG²=OC²+OG²=2r²(r为圆半径)
∴CE²+ED²=2r²(证毕.图形请自己补画.)
过点O作OM⊥CD于M,设半径为r,OM为x,CE²=(√(r(^2)-x(^2))-x(^2))²DE²=(√(r(^2)-x(^2))+x(^2))²∴y=2r(^2)