作业帮质数啊,a,b,c 满足 a^4+b^4+c^4-3=p 求p的所有值p 也是质数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 12:57:14
质数啊,a,b,c 满足 a^4+b^4+c^4-3=p 求p的所有值p 也是质数
质数啊,a,b,c 满足 a^4+b^4+c^4-3=p 求p的所有值
p 也是质数
质数啊,a,b,c 满足 a^4+b^4+c^4-3=p 求p的所有值p 也是质数
P只能=719.
因为大于2的质数都是奇数,
奇数的N次方都是奇数
三个奇数相加的和是奇数,奇数－3等于偶数.
假设P是偶数且是质数,则P=2.显然不成立.因为a^4 + b^4 + c^4必大于5.
所以假设不成立,P只能是奇数.
因此A、B、C三个数里,必有且仅有1个或3个2.
如果有3个2,经验证此时P=45不是质数,舍弃.
因此A、B、C三个数里,必有且仅有1个2.
研究奇数质数的尾数和其四次方的尾数对照如下：
质数的尾数：1 3 7 9 5（5为尾数时只存在5一个数）
4 方的尾数：1 1 1 1 5
两个奇数质数的四次方的和,尾数只有2、6三种!
不妨设A=2,代入上式得：
b^4+c^4 + 13 = P （P>13）
分情况讨论：
一、当两个奇数质数的四次方的和尾数为2时,
P的尾数为5,且P大于5,因P必为5整除,矛盾舍弃!
二、当两个奇数质数的四次方的和尾数为6时,B、C中必有一个5
不妨让B=5,C=尾数为1、3、7、9的质数.
代入上式变形得：
(2^4-1) + (5^4 -1) + (C^4-1) = P
即：
639 + (C^2+1)*(C+1)(C-1) = P
二i：
当C=3时,P=719 是质数.此是一解.
二ii
当C>3时,因C是质数,C除以3必余1或余2,
因此无论如何,(C+1)、(C-1)必有一项能被3整除,
使得P含有因数3,
而P是>3的质数,矛盾舍弃!
综上所述:
A、B、C = {2、3、5}
P=2^4 + 3^4 + 5^4 - 3 = 719