作业帮求椭圆.x^2/4+y^2/3=1上的点到直线X-Y-2倍根号7=0的距离的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 18:10:04
求椭圆.x^2/4+y^2/3=1上的点到直线X-Y-2倍根号7=0的距离的最小值
求椭圆.x^2/4+y^2/3=1上的点到直线X-Y-2倍根号7=0的距离的最小值
求椭圆.x^2/4+y^2/3=1上的点到直线X-Y-2倍根号7=0的距离的最小值
为了用最简单的方法做出数学才是数学的最高境界啊；
我动手了
此题可以等效为过椭圆的点做与该直线平行的直线；可以证明当该平行线与椭圆相切的时候距离最小；
因此设切点为（x,y）;
对椭圆方程两边求x的偏导得到
x/2+2y/3*y'=0 y'=-3x/4y,这个y'就是该切线的斜率
由两直线平行得到
-3x=4y,求出x=根号(16/7)
设该切线为x-y-k=0
求出7x/4=k=根号7
因此
距离的最小值为s=2根号7-根号7=根号7
求导方法是用了高等数学,但是其他的都是高中的
椭圆x^2/4+y^2/3=1上的点可设为（2cosα，√3sinα）
再根据点到线距离公式
d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
得
d=|2cosα-√3sinα-2√7|/√2
=|√7sin(α+φ)-2√7|/√2，（tanφ=-√3/2）
=√14|sin(α+φ)-2| /2
-1≤sin(α+φ)≤1
-3...
全部展开
椭圆x^2/4+y^2/3=1上的点可设为（2cosα，√3sinα）
再根据点到线距离公式
d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
得
d=|2cosα-√3sinα-2√7|/√2
=|√7sin(α+φ)-2√7|/√2，（tanφ=-√3/2）
=√14|sin(α+φ)-2| /2
-1≤sin(α+φ)≤1
-3≤sin(α+φ)-2≤-1
1≤|sin(α+φ)-2|≤3
(√14)/2≤√14|sin(α+φ)-2|/2≤(3√14)/2
(√14)/2≤d≤(3√14)/2
收起
此直线在椭圆外那么最好先求一条与题目斜率一样的直线它与椭圆相切
椭圆左右求导(x²/4+y²/3)'=0 =>x/2+2yy'/3=0
则椭圆各点所对应切线斜率为y'=-3x/4y
给定的直线X-Y-2倍根号7=0斜率为1
则-3x/4y=1 =>-3x=4y带入x^2/4+y^2/3=1 =>切点坐标在第四象限（4√7/7，-3√7/7）此点...
全部展开
此直线在椭圆外那么最好先求一条与题目斜率一样的直线它与椭圆相切
椭圆左右求导(x²/4+y²/3)'=0 =>x/2+2yy'/3=0
则椭圆各点所对应切线斜率为y'=-3x/4y
给定的直线X-Y-2倍根号7=0斜率为1
则-3x/4y=1 =>-3x=4y带入x^2/4+y^2/3=1 =>切点坐标在第四象限（4√7/7，-3√7/7）此点到直线X-Y-2倍根号7=0为最短距离
d=|(4√7/7-(-3√7/7))-2√7|÷（√2）=√7/√2=√14/2
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