若xy=1,则代数式1/x^4+1/y^4的最小值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 04:18:47

若xy=1,则代数式1/x^4+1/y^4的最小值
若xy=1,则代数式1/x^4+1/y^4的最小值

若xy=1,则代数式1/x^4+1/y^4的最小值
根据Cauchy不等式
(1/x^4+1/y^4)(1+1)>=(1/x^2+1/y^2)^2
等号当且仅当x=y时成立
因为xy=1,
(1/x^2+1/y^2)^2=(x^2+y^2)^2
又因为x^2+y^2>=2xy
等号当且仅当x=y时成立
所以原式>=1/2*(2xy)^2=2
当且仅当x=y=1或x=y=-1时取到最小值.

1/x^4+1/4y^4
=（x^4+4y^4）/（x^4*4y^4） xy=1代入
=（x^4+4y^4）/4
由（x^2-2y^2）^2>=0
x^4-4x^2y^2+4y^4>=0
得：x^4+4y^4>= 4（x y）^2 xy=1代入
x^4+4y^4>= 4
所以x^4+4y^4最小值为4
...

全部展开

1/x^4+1/4y^4
=（x^4+4y^4）/（x^4*4y^4） xy=1代入
=（x^4+4y^4）/4
由（x^2-2y^2）^2>=0
x^4-4x^2y^2+4y^4>=0
得：x^4+4y^4>= 4（x y）^2 xy=1代入
x^4+4y^4>= 4
所以x^4+4y^4最小值为4
因为x^4+4y^4最小值为4
代入4
（x^4+4y^4）/4 =1
得到1/x^4+1/4y^4最小值为1

收起

已知xy/x+y=1/2,则代数式3x-5xy+3y/-x+3xy-y= 若xy=1,则代数式1/（x^4）+1/（y^4）的最小值. 若xy=1,则代数式1/x^4+1/y^4的最小值 已知x+y=3,xy=1,求代数式5xy+4x+7y+6x-3xy-4xy+3y的值. 若(x-1)²+|-y+2x|=0,则代数式2xy/x+y的值是? 已知1/x-1/2y=1/3,则代数式（2x+3xy-4y）/（x-3xy-2y）的值为 若1/x+2/y=5,求代数式2x+xy+y/8x-3xy+4y的值. x+y=1,则代数式½x²+xy+½y²的值是什么 已知|x+y+1|+|xy+3|=0,求代数式xy^3+X^3y 已知x+2y=2,xy=1,求代数式2x+4y+3xy+1的值 若x+y=3,xy=1,求代数式(5x+2)-(3xy-5y)的值 已知x+y=-1,xy=-2,求代数式-5（x+y)+(x-y)+x(xy+y)的值 若x-y=根号2-1,xy=根号2,则代数式（x-1)(y+1)的值等于? 若x-y=根号2-1,xy=根号2,则代数式（x-1)(y+1)的值等于? 若x+y=3且xy=1,则代数式（1-x）（1-y）的值等于 若x-y=√2 减1,xy等于√2,则代数式(x-1)(y+1) 等于 若x+y=1,则代数式1/2x²+xy+1/2y²的值为 若x=156,y=146,则代数式1/2x^2-xy+1/2y^2