矩形ABCD,BFDE,AB=BF,求证:MN垂直CF,MN与BD互相平分.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 01:23:47

矩形ABCD,BFDE,AB=BF,求证:MN垂直CF,MN与BD互相平分.
矩形ABCD,BFDE,AB=BF,求证:MN垂直CF,MN与BD互相平分.

矩形ABCD,BFDE,AB=BF,求证:MN垂直CF,MN与BD互相平分.
因为矩形ABCD,BFDE
所以MD//BN,BM//ND
所以平行四边形BMDN
又因为角ABM+角MBN=90度,且角FBN+角MBN=90度,所以角ABM=角FBN
又因为AB=BF,所以三角形ABM全等于三角形FBN
所以BM=BN
所以BMDN为菱形
故MN与BD互相垂直平分.
又可证得三角形BFC全等于三角形DCF,因此得角BCF=角DFC
而通过菱形BMDN可得角DBN=角BDN,同时角BND=角CNF（对顶角）
所以两个等腰三角形BDN,CFN的底角都相等,即角FCB=角CBD
因此可得BD//CF
与MN与BD互相垂直条件,可得MN垂直CF
有点烦.

先求三角形AMB与三角形EMD全等，得MB=MD,从而得出MDNB为菱形。菱形的对角线MN和BD互相垂直平分。很容易得三角形NBF和NDC全等，得角FDC和角CBF相等，从而得角FBD和角CDB相等，而BF=DC,得BDCF为等腰梯形，CF平行BD,所以MN垂直CF。

由矩形ABCD,BFDE,AB=BF可知，MD∥BN，MB∥DN,∴MBND为平行四边形，
又∵矩形ABCD,BFDE,AB=BF，∴BF=ED=AB,∵△MAB,△MED为直角三角形，∠AMB=∠EMD,
∴∠ABM=∠EDM,∴△MAB=△MED,∴MB=MD(角边角原理，)，∴MBND为菱形
∴MN与BD互相垂直平分，∴MN⊥BD,①
∵MBND为菱形

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由矩形ABCD,BFDE,AB=BF可知，MD∥BN，MB∥DN,∴MBND为平行四边形，
又∵矩形ABCD,BFDE,AB=BF，∴BF=ED=AB,∵△MAB,△MED为直角三角形，∠AMB=∠EMD,
∴∠ABM=∠EDM,∴△MAB=△MED,∴MB=MD(角边角原理，)，∴MBND为菱形
∴MN与BD互相垂直平分，∴MN⊥BD,①
∵MBND为菱形
∴MN平分∠BND,NB=ND,同理MN平分∠FNC,②
∵NB=ND,BF=AB=DC,∠NBF+(∠NBD+∠NDB)=90,∠NDC+(∠NDB+∠NBD)=90,∴∠NDC=∠NBF
∴△NDC=△NBF（边角边原理）∴NF=NC，∴△FNC为等腰三角形，且MN平分∠FNC
∴MN⊥FC③

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