作业帮求：lim(x->0)[1+e-(1+x)^(1/x)]^(1/x)lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e;于是式子变为：1^无穷,不定式.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 22:39:35
求：lim(x->0)[1+e-(1+x)^(1/x)]^(1/x)lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e;于是式子变为：1^无穷,不定式.
求：lim(x->0)[1+e-(1+x)^(1/x)]^(1/x)
lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e;
于是式子变为：1^无穷,不定式.
求：lim(x->0)[1+e-(1+x)^(1/x)]^(1/x)lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e;于是式子变为：1^无穷,不定式.
=limexp{ln[1+e-(1+x)^(1/x)]/x}
=exp{lim[e-(1+x)^(1/x)]/x}（等价无穷小的替换）
=exp{lim[e-e^(ln(1+x)/x)]/x}
=exp{lim[e-e^(1-x/2+o(x))]/x}（泰勒公式求极限）
=exp{elim[1-e^(-x/2+o(x))]/x}
=exp{elim[1-(1-x/2+o(x)]/x}
=exp{elim[1/2+o(1)]}
=exp{e/2}
手机打字累……你试试用(1+X)^n=e^(n*In(1+n))，化成你熟悉的未定式，然后再用等价无穷小代换，接下来你应该会做了吧
(1+X)^n=e^(n*In(1+n)
=limexp{ln[1+e-(1+x)^(1/x)]/x}
=exp{lim[e-(1+x)^(1/x)]/x}（等价无穷小替换）
=exp{lim[e-e^(ln(1+x)/x)]/x}
=exp{lim[e-e^(1-x/2+o(x))]/x}（泰勒公式求极限）
=exp{elim[1-e^(-x/2+o(x))]/x}
=exp{elim[1-(1-x/2+o(x)]/x}
=exp{elim[1/2+o(1)]}
=exp{e/2}
本题可以运用特殊极限即可解答，无须运用麦克劳林级数。 对一般学生来说，学特殊极限时，离麦克劳林级数，还相差很远。 如同要求小学生用中学生的方法解答小学问题一般，太勉为其难了。 国内的教学是将麦克劳林级数与泰勒级数混为一谈的，楼主若出国留学的话，需要小心，以免被误导。 点击放大，放大荧屏可以继续再放大：