作业帮在△ABC中,∠A=45°,边AC的垂直平分线交边AB于E点,交CB的延长线于F点,垂足为D,若EC=EF,试比较AB与AC的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 00:49:42
在△ABC中,∠A=45°,边AC的垂直平分线交边AB于E点,交CB的延长线于F点,垂足为D,若EC=EF,试比较AB与AC的大小
在△ABC中,∠A=45°,边AC的垂直平分线交边AB于E点,交CB的延长线于F点,垂足为D,若EC=EF,试比较AB与AC的大小
在△ABC中,∠A=45°,边AC的垂直平分线交边AB于E点,交CB的延长线于F点,垂足为D,若EC=EF,试比较AB与AC的大小
AB=AC.
证明:DE垂直平分AC,则AE=CE,∠A=∠ECA=45度,∠AEC=90度;∠BEF=∠AED=45度.
又EC=EF,则:∠F=∠ECF.
故:∠F+∠BEF=∠ECF+∠ECA,即:∠ABC=∠ACB,得:AB=AC.
连接AF，因为DF垂直又平分AC，所以AF=FC；EA=EC
因为∠A＝45°，EA=EC，所以∠ACE＝45°即∠AEC是直角。
因为EC＝EF，EC=EA，所以EF=EA，∠EFA=∠EAF；在Rt△ADF中，∠A=45°，
所以，∠EFA+∠EAF＝45°，∠EFA＝∠EAF＝45°/2，
因为DF是AC的垂直平分线，∠EFA=∠EFB=∠ECB＝（45°/2...
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连接AF，因为DF垂直又平分AC，所以AF=FC；EA=EC
因为∠A＝45°，EA=EC，所以∠ACE＝45°即∠AEC是直角。
因为EC＝EF，EC=EA，所以EF=EA，∠EFA=∠EAF；在Rt△ADF中，∠A=45°，
所以，∠EFA+∠EAF＝45°，∠EFA＝∠EAF＝45°/2，
因为DF是AC的垂直平分线，∠EFA=∠EFB=∠ECB＝（45°/2）。
设：EF=EC＝a，则在△AEC中，AC=√2a；
EB=a*tan(45°/2)=a*sin45°/(1+cos45°)=(√2-1)*a；AB=AE+EB＝a+(√2-1)*a=)=√2a
由此可知AB=AC
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