求证(a的平方+2)(b的平方+2)(c的平方+2)大于等于9(ab+bc+ac)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 09:22:08

求证(a的平方+2)(b的平方+2)(c的平方+2)大于等于9(ab+bc+ac)
求证(a的平方+2)(b的平方+2)(c的平方+2)大于等于9(ab+bc+ac)

求证(a的平方+2)(b的平方+2)(c的平方+2)大于等于9(ab+bc+ac)
"正实数 a,b,c" 求证(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≥3(a+b+c)^2.≥ 9(ab+bc+ca)
先证 (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≥3(a+b+c)^2.
(一)配方法
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-3(a+b+c)^2
=(a^2+2)(bc-1)^2+(a^2+2)(b-c)^2/2+3(2-ab-ac)^2/2≥0
(二)局部不等式
因为
(b^2+2)(c^2+2)-3[2+(b+c)^2]/2.
=(bc-1)^2+3(b-c)^2/2>=0
所以
(b^2+2)(c^2+2)>=3[2+(b+c)^2]/2.
再由柯西不等式
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>=3(a^2+2)*[1+(b+c)^2/2]
>=3(a+b+c)^2
∵(b-c)^2+2(bc-1)^2≥0,
∴(b^2+2)(c^2+2)≥3[1+(b+c)^2/2]
由Cauchy不等式知
(a^2+2)[1+(b+c)^2/2]≥(a+b+c)^2.
∴(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)
≥3(a+b+c)^2
≥9(ab+bc+ca).
p.s (a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
=0.5[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
=> (a+b+c)^2≥3(ab+bc+ca)

已知a:b=b:c 求证(a+b+c)的平方+a平方+b平方+c平方=2（a+b+c）（a+c） 已知a,b,c是一个三角形的三边,求证a四次方+b四次方+c四次方-2a平方b平方-2b平方c平方-2c平方a平方的值恒负 abc是△ABC的三边,求证a(b平方+c平方）+b(c平方+a平方）+c(a平方+b平方）-a立方-b立方-c立方＞2abc. 求证(a的平方+2)(b的平方+2)(c的平方+2)大于等于9(ab+bc+ac) 求证(a的平方+2)(b的平方+2)(c的平方+2)大于等于9(ab+bc+ac) 已知三角形三边a,b,c 满足（a+b+c）平方=3（a平方+b平方+c平方)求证三角形ABC是等边三角形 要用一个恒等变形的公式 a平方加b平方加c平方-ab-ac-bc等于2分之一【（a-b)平方+（b-c)平方+(c-a）】平方 若a,b,c>0,求证(a平方+b平方)/c+(b平方+c平方)/a+(c平方+a平方)/b≥2(a+b+c) 已知a,b,c是不全相等的正数,求证a(b平方+c平方)+b(a平方+c平方)+c(a平方+b平方)>6abc a的平方b-b的平方c+c的平方a-a的平方c+b的平方a+c的平方b-2abc因式分解 a的平方+b的平方>c的平方,求证角C为锐角 求证：2（a-b)(a-c)+2(b-c)(b-a)+2(c-a)(c-b)=(b-c)的平方+(c-a)的平方+(a-b)的平方 设a、b、c是三角形的三条边,求证：a的平方减b的平方c减的平方减2bc小于0 已知a,b,c分别为三角形的三条边,求证a的平方减b的平方减c的平方减2bc＜0 已知a b c为三角形abc的三条边 求证 a的平方减b的平方减c的平方减2bc大于0 设a b c 是三角形abc的三边长,求证A的平方减b的平方减c的平方减2bc＜0 已知a的平方+2bc=b的平方+2ca=c的平方+2ab求证a=b=c 已知三角形ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,求证c的平方=a的平方+b的平方-2abcosC abc是不全相等的正数,求证a(b平方+c平方)+b(c平方+a平方)+c(a平方+b平方)大于6abc